Urn fio de aço de 1 mm de diâmetro pode suportar una tracảo de 0,2 \mathrm{kN}. Úm cabo de aço para suportar uma tração de 20 kN deve ter diàmetro de que ordem de grandeza?

Passo 1

O enunciado diz que um fio de aço de diâmetro 1\\ \mathrm{mm} suporta uma tração de 0,2\\ \mathrm{kN}, e pergunta qual deve ser o diâmetro de um cabo para suportar 20\\ \mathrm{kN}. Vamos usar o conceito de tensão (ou tensão de tração)
\sigma = \frac{F}{A}
e a fórmula da área de seção transversal de um fio circular
A = \frac{\pi d^2}{4}\,.

Passo 2

Na mesma matéria, assumimos que a tensão admissível \sigma é a mesma. Para o fio original:
\sigma = \frac{F_1}{A_1} \quad\text{com}\quad F_1 = 0,2\\ \mathrm{kN}, \quad A_1 = \frac{\pi (1\\ \mathrm{mm})^2}{4}\,.

Passo 3

Para o cabo que deve aguentar F_2 = 20\\ \mathrm{kN} mantendo a mesma \sigma, a área necessária é
A_2 = \frac{F_2}{\sigma} = A_1\,\frac{F_2}{F_1} = A_1\cdot\frac{20}{0,2} = 100\,A_1\,.

Passo 4

Como A\propto d^2, temos
\frac{A_2}{A_1} = \Bigl(\frac{d_2}{d_1}\Bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d_2}{d_1} = \sqrt{100} = 10
e portanto
d_2 = 10\,d_1 = 10\times1\\ \mathrm{mm} = 10\\ \mathrm{mm}\,.

Resposta

O diâmetro deve ser da ordem de 10\\ \mathrm{mm} (aproximadamente 1\\ \mathrm{cm}).

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