Seja X uma variável aleatória que representa o número de peças produzidas por uma máquina em um período de um dia. A probabilidade da maquina estar desligada em um dia qualquer é \frac{1}{2} (Se a máquina estiver desligada, então ela não produz nenhuma peça). A probabilidade da máquina estar ligada e produzir i peças é dada por \mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{i})=\mathrm{p}^{\mathrm{i}}, \mathrm{i}=1,2,3, \ldots Pergunta-se:
a) Qual é o valor de p ?
b) Qual a probabilidade da máquina produzir pelo menos 5 peças em um dia?
c) Qual a probabilidade da máquina produzir um número par de peças em um dia?

Passo 1

O enunciado diz que X é o número de peças produzidas num dia, com
\,P(X=0)=\tfrac12 (máquina desligada) e, para i\ge1,
P(X=i)=p^i.
Como as probabilidades devem somar 1, teremos
P(X=0)+\sum_{i=1}^\infty P(X=i)=1.
Para resolver a questão, vamos usar a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Escrevendo a condição de normalização:
\tfrac12+\sum_{i=1}^\infty p^i=1.
Como
\sum_{i=1}^\infty p^i=\frac{p}{1-p},
temos
\tfrac12+\frac{p}{1-p}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{p}{1-p}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad p= \frac13.

Passo 3

Queremos P(X\ge5). Como para i\ge1 vale P(X=i)=p^i, então
P(X\ge5)=\sum_{i=5}^\infty p^i =\frac{p^5}{1-p}.
Substituindo p=\tfrac13:
P(X\ge5) =\frac{\bigl(\tfrac13\bigr)^5}{1-\tfrac13} =\frac{1/243}{2/3} =\frac{1}{162}.

Passo 4

Queremos P(X é par ), isto é P(X=0)+P(X=2)+P(X=4)+\cdots. Temos
P(X=0)=\tfrac12, \qquad P(X=2k)=p^{2k}\\ (\text{para }k\ge1),
portanto
P(\text{par}) =\tfrac12+\sum_{k=1}^\infty p^{2k} =\tfrac12+\frac{p^2}{1-p^2}.
Com p=\tfrac13 segue p^2=\tfrac19 e
\frac{p^2}{1-p^2} =\frac{1/9}{8/9} =\frac18,
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P(\text{par}) =\tfrac12+\tfrac18 =\tfrac58.

Resposta

a) p=\tfrac13
b) P(X\ge5)=\tfrac{1}{162}
c) P(X\text{ é par})=\tfrac58é

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