Seja [X) uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição acumulada:
\mathrm{F}(\mathrm{x})= \begin{cases}0, & \text { se } \mathrm{x}<-2 \\\\ 1 / 5, & \text { se }-2 \leq \mathrm{x}<-1,5 \\\\ 1 / 2, & \text { se }-1,5 \leq \mathrm{x}<-1 \\\\ 3 / 5, & \text { se }-1 \leq \mathrm{x}<1 \\\\ 1, & \text { se } \mathrm{x} \geq 1\end{cases}
Calcule:
(\mathrm{P}(\mathrm{X}<0)];

Passo 1

O enunciado nos dá a função de distribuição acumulada de X, que é uma função em degraus, indicando que X é discreta com saltos em certos pontos. Queremos calcular
\mathrm{P}(X<0).

Passo 2

Em uma distribuição discreta, a probabilidade de ocorrência em cada ponto x_{0} é dada pelo salto da CDF em x_{0}:
p(x_{0}) \;=\; F(x_{0}) \;-\;\lim_{x\to x_{0}^{-}}F(x).
Pelos valores de F(x), os saltos ocorrem em x=-2, -1{,}5, -1 e 1. Vamos calcular as massas nesses pontos:
p(-2)=F(-2)-\lim_{x\to-2^{-}}F(x)=\tfrac{1}{5}-0=\tfrac{1}{5},
p(-1{,}5)=F(-1{,}5)-\lim_{x\to-1{,}5^{-}}F(x)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10},
p(-1)=F(-1)-\lim_{x\to-1^{-}}F(x)=\tfrac{3}{5}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{10},
p(1)=F(1)-\lim_{x\to1^{-}}F(x)=1-\tfrac{3}{5}=\tfrac{2}{5}.

Passo 3

Para calcular \mathrm{P}(X<0), somamos todas as massas em pontos estritamente menores que zero, ou seja, em -2, -1{,}5 e -1:
\mathrm{P}(X<0)=p(-2)+p(-1{,}5)+p(-1) =\tfrac{1}{5}+\tfrac{3}{10}+\tfrac{1}{10} =\tfrac{2}{10}+\tfrac{3}{10}+\tfrac{1}{10} =\tfrac{6}{10} =\tfrac{3}{5}.

Resposta

\tfrac{3}{5}

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