Considere uma mola de constante elástica k presa no teto. Você então conecta um objeto de massa m à extremidade livre da mola e o abandona do repouso a partir da posição em que a mola está relaxada. Sob ação da força peso e da força da mola, o objeto aumenta sua velocidade até certo ponto e depois vai sendo freado até instantaneamente parar e voltar a subir. Considerando a descida, determine, usando apenas cálculo de trabalho e sua conexão com a variação de energia cinética,
a) a máxima velocidade atingida pelo objeto durante a descida e onde ela ocorre;
b) o deslocamento até o objeto parar de descer.
Sugestão: adote um eixo x na vertical, apont ando para baixo e com origem na extremidade livre da mola quando a mesma está relaxada.

Passo 1

Primeiro, bora entender o problema: temos uma mola de constante elástica k presa no teto e uma massa m pendurada na ponta. Soltamos do repouso exatamente quando a mola está relaxada ( x=0). A força peso mg puxa pra baixo e a mola puxa pra cima com Fs=-kx. O objeto desce, ganha velocidade, alcança um máximo e depois freia até parar. A gente precisa, só na descida, usar o Teorema do Trabalho-Energia (trabalho total = variação da energia cinética) pra encontrar:
a) a velocidade máxima e onde ela ocorre;
b) até que deslocamento (eixo x apontando pra baixo, origem em x=0) o objeto para de descer.

Passo 2

Teoria: o Teorema do Trabalho-Energia diz
Wtot=WP+Ws=De<a K = 12m v^2 - 0,
pois partimos do repouso.
  • Trabalho da gravidade (força constante mg descendendo x):
WP = mg,x
  • Trabalho da mola (força variável -kx' indo de 0 a x):
Ws = integral0^x(-k,x'),dx' = -tfrac12,k,x^2
Logo
12,m,v^2 = m g x - 12,k,x^2

Passo 3

Isolando v:
v^2 = 2ml(m g x - tfrac12 k x^2r) = 2g,x - km,x^2,
boxedv(x)=raiz2g,x - kmx^2,

Passo 4

(a) Pra achar onde a velocidade é máxima, maximizamos v^2(x)=2gx-(k/m)x^2. Derivando e igualando a zero:
d(v^2)dx=2g - 2kmx = 0 Longrightarrow xmax v = m gk
Substituindo em v(x):
vmax = v!l(tfracmgkr) = raiz2gmgk - kml(mgkr)^2 = g,raizmk

Passo 5

(b) Para saber até onde o objeto para de descer, buscamos v=0 (além de x=0). Da equação
m g x - tfrac12 k x^2 = 0 Longrightarrow xl(mg - tfrac12 k xr)=0 Longrightarrow xrm stop=2,m,gk

Resposta

a) A velocidade máxima é
vmax=graizmk,
e isso ocorre em
x=m,gk
b) O objeto para de descer em
x=2,m,gk

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