QUESTÃO 03 - Um tubo adaptado a uma torneira e situado 0,5 m acima do solo, jorra água para cima, formando um ângulo de 45^circ com o chão. O jato de água atinge uma horta a 10 m de distância. (a) Com que velocidade o jato sai do tubo? (b) Que altura ele atinge?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um tubo que lança água a um certo ângulo e precisa descobrir duas coisas: a velocidade inicial da água quando sai do tubo e a altura máxima que ela atinge. Estamos lidando com movimento de projéteis, que é parte da cinemática na física. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de lançamento oblíquo e entender como a velocidade e a altura se comportam nesse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da questão: encontrar a velocidade com que o jato de água sai do tubo. Sabemos que o jato forma um ângulo de 45^circ com o chão e atinge uma distância horizontal de 10 metros. Como o movimento é oblíquo, podemos dividir a velocidade inicial em componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y).

Passo 3

Já que o ângulo é de 45^circ, as componentes da velocidade são iguais. Ou seja:
v0x = v0y = v0 cos(45^circ) = v0 sin(45^circ)
Sabemos que cos(45^circ) = sin(45^circ) = raiz22, então:
v0x = v0y = v0 raiz22

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do alcance horizontal para movimento de projéteis:
R = v0x times t
Onde R é a distância horizontal (10 m) e t é o tempo de voo. Precisamos encontrar o tempo que a água leva para atingir a horta.

Passo 5

Para encontrar o tempo de voo, analisamos o movimento vertical. A posição vertical final é 0,5 m acima do solo, já que o tubo está nessa altura. A equação do movimento vertical é:
y = v0y t - 12 g t^2
Onde y = -0.5 m (a descida final até 0,5 m), g = 9,8 m/s^2 (aceleração da gravidade).

Passo 6

Substituindo v0y = v0 raiz22 na equação:
-0.5 = v0 raiz22 t - 12 times 9,8 times t^2
Simplificamos:
-0.5 = v0 raiz22 t - 4,9 t^2

Passo 7

Vamos resolver essa equação para t. Mas primeiro, expressamos R = v0x times t:
10 = v0 raiz22 times t
Isolando t:
t = 20v0 raiz2

Passo 8

Substituímos t na equação vertical:
-0.5 = v0 raiz22 times 20v0 raiz2 - 4,9 (20v0 raiz2)^2
Simplificamos:
-0.5 = 10 - 4,9 times 4002 v0^2
-0.5 = 10 - 980v0^2

Passo 9

Isolamos 980v0^2:
980v0^2 = 10 + 0.5
980v0^2 = 10,5
Então:
v0^2 = 98010,5
v0^2 = 93,333

Passo 10

Extraímos a raiz quadrada para encontrar v0:
v0 = raiz93,333 approx 9,66 m/s

Passo 11

Agora, vamos para a segunda parte da questão: determinar a altura máxima que a água atinge. A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical é zero. Usamos a fórmula:
vy^2 = v0y^2 - 2 g h
Onde vy = 0 na altura máxima, então:
0 = v0y^2 - 2 g h
h = v0y^22 g

Passo 12

Sabendo que v0y = v0 raiz22 e v0 approx 9,66 m/s:
v0y = 9,66 times raiz22 approx 6,83 m/s
Então:
h = (6,83)^22 times 9,8
h = 46,6619,6 approx 2,38 m

Resposta

(a) A velocidade com que o jato sai do tubo é aproximadamente 9,66 m/s.
(b) A altura máxima que o jato de água atinge é cerca de 2,38 m.

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