Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por F=-k(x-x0), onde k é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e x-x0 é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio x0. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que x0=0 m (colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Obtenha o trabalho que deve ser realizado para distender a mola de uma posição inicial x inicial =x0 i=0 i até uma posição final x final =(x0+De na horizontal. Obtenha o trabalho que deve ser realizado para comprimir a mola de uma posição inicial x inicial =x0 i até uma posição final x final =(x0-De. Em termos energéticos, existe diferença entre o trabalho necessário para comprimir (diminuir) ou distender (aumentar) o comprimento da mola de um dado comprimento extra De? A este trabalho associamos um termo que é denominado energia potencial elástica da mola.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com uma mola que segue a Lei de Hooke, que basicamente diz que a força que a mola exerce é proporcional ao quanto ela é esticada ou comprimida. A fórmula é F=-k(x-x0), onde k é a constante elástica da mola e x-x0 é o vetor deslocamento em relação à posição de equilíbrio x0.
A gente vai assumir que a posição de equilíbrio é 0 , m para simplificar as coisas. Precisamos calcular o trabalho necessário para esticar a mola de 0 até A = x0 + De e o trabalho para comprimir de x0 até -A. Além disso, vamos ver se tem diferença de energia entre esticar e comprimir a mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. Trabalho é a energia transferida quando uma força aplica um deslocamento. A fórmula geral é:
W = integralxi^xf F , dx
No caso da mola, a força que a mola exerce é F = -k x. O sinal negativo indica que a força da mola é contrária ao deslocamento.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho para estender a mola de 0 até A. Aqui, o deslocamento vai de xi = 0 até xf = A.
Substituindo na fórmula do trabalho:
Westender = integral0^A k x , dx
Note que removemos o sinal negativo porque estamos calculando o trabalho que realizamos para estender a mola, ou seja, estamos aplicando uma força na mesma direção do deslocamento.

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
Westender = k integral0^A x , dx = k [ x^22 ]0^A = k ( A^22 - 0 ) = 12 k A^2
Então, o trabalho para estender a mola até A é 12 k A^2.

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho para comprimir a mola de xi = x0 até xf = -A.
Primeiro, precisamos ajustar a configuração. Já que x0 = 0, a compressão vai de 0 até -A.
A fórmula do trabalho fica:
Wcomprimir = integral0^-A k x , dx
Aqui, o deslocamento é negativo, mas o trabalho realizado também é positivo porque estamos armazenando energia na mola.

Passo 6

Resolvendo a integral:
Wcomprimir = k integral0^-A x , dx = k [ x^22 ]0^-A = k ( (-A)^22 - 0 ) = 12 k A^2
O trabalho para comprimir a mola até -A também é 12 k A^2.

Passo 7

Vamos verificar se tem diferença no trabalho para esticar ou comprimir a mola. Vimos que ambos os casos resultaram em 12 k A^2. Então, não há diferença no trabalho realizado para estender ou comprimir a mola pela mesma distância De.

Passo 8

Esse trabalho que calculamos está diretamente ligado à energia potencial elástica da mola. A energia potencial armazenada na mola quando ela está esticada ou comprimida é dada por:
U = 12 k x^2
Isso reafirma que o trabalho realizado para deformar a mola é armazenado como energia potencial nela.

Resposta

O trabalho necessário tanto para estender quanto para comprimir a mola por uma distância De é 12 k A^2. Não há diferença no trabalho realizado entre estender ou comprimir a mola pela mesma distância, e esse trabalho corresponde à energia potencial elástica da mola.

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