Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por
, onde
é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e
é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio
. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que
(colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Obtenha o trabalho que deve ser realizado para distender a mola de uma posição inicial
até uma posição final
na horizontal. Obtenha o trabalho que deve ser realizado para comprimir a mola de uma posição inicial
até uma posição final
. Em termos energéticos, existe diferença entre o trabalho necessário para comprimir (diminuir) ou distender (aumentar) o comprimento da mola de um dado comprimento extra
? A este trabalho associamos um termo que é denominado energia potencial elástica da mola.
Obtenha o trabalho que deve ser realizado para distender a mola de uma posição inicial
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com uma mola que segue a Lei de Hooke, que basicamente diz que a força que a mola exerce é proporcional ao quanto ela é esticada ou comprimida. A fórmula é
, onde
é a constante elástica da mola e
é o vetor deslocamento em relação à posição de equilíbrio
.
A gente vai assumir que a posição de equilíbrio é
para simplificar as coisas. Precisamos calcular o trabalho necessário para esticar a mola de
até
e o trabalho para comprimir de
até
. Além disso, vamos ver se tem diferença de energia entre esticar e comprimir a mola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. Trabalho é a energia transferida quando uma força aplica um deslocamento. A fórmula geral é:
No caso da mola, a força que a mola exerce é
. O sinal negativo indica que a força da mola é contrária ao deslocamento.
Passo 3
Vamos calcular o trabalho para estender a mola de
até
. Aqui, o deslocamento vai de
até
.
Substituindo na fórmula do trabalho:
Note que removemos o sinal negativo porque estamos calculando o trabalho que realizamos para estender a mola, ou seja, estamos aplicando uma força na mesma direção do deslocamento.
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
Então, o trabalho para estender a mola até
é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho para comprimir a mola de
até
.
Primeiro, precisamos ajustar a configuração. Já que
, a compressão vai de
até
.
A fórmula do trabalho fica:
Aqui, o deslocamento é negativo, mas o trabalho realizado também é positivo porque estamos armazenando energia na mola.
Passo 6
Resolvendo a integral:
O trabalho para comprimir a mola até
também é
.
Passo 7
Vamos verificar se tem diferença no trabalho para esticar ou comprimir a mola. Vimos que ambos os casos resultaram em
. Então, não há diferença no trabalho realizado para estender ou comprimir a mola pela mesma distância
.
Passo 8
Esse trabalho que calculamos está diretamente ligado à energia potencial elástica da mola. A energia potencial armazenada na mola quando ela está esticada ou comprimida é dada por:
Isso reafirma que o trabalho realizado para deformar a mola é armazenado como energia potencial nela.
Resposta
O trabalho necessário tanto para estender quanto para comprimir a mola por uma distância
é
. Não há diferença no trabalho realizado entre estender ou comprimir a mola pela mesma distância, e esse trabalho corresponde à energia potencial elástica da mola.