Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por F=-k(x-x0), onde k é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e x-x0 é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio x0. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que x0=0 m (colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Esboce um gráfico da energia / função potencial elástica da mola em função da posição x em torno da posição de equilíbrio x0. O que acontece com a força de reação da mola e com a energia potencial da mesma na posição de equilíbrio e quando se afasta da mesma? Mostre que a força da mola é dada pela derivada da energia potencial em função da posição (com o devido sinal) e que a mesma aponta na direção em que a energia diminui.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a mola que segue a Lei de Hooke. A gente precisa desenhar o gráfico da energia potencial da mola em função da posição e entender como a força de reação e a energia potencial se comportam tanto na posição de equilíbrio quanto quando a mola é deslocada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre forças elásticas, energia potencial e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento da sua posição de equilíbrio. Matematicamente, isso é expresso por:
F = -k cdot x
Aqui, é a constante elástica da mola e é o deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio (que estamos considerando como a origem, ).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a energia potencial da mola. A energia potencial elástica armazenada na mola quando ela está comprimida ou esticada é dada por:
U = 12 k x^2
Essa fórmula mostra que a energia potencial depende do quadrado do deslocamento e da constante elástica .

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da energia potencial em função da posição . Como , o gráfico será uma parábola que abre para cima, com o ponto mais baixo na origem (quando ). Isso significa que a energia potencial é mínima na posição de equilíbrio e aumenta conforme a mola é deslocada para qualquer direção.

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com a força de reação e a energia potencial na posição de equilíbrio e quando a mola é deslocada.
  • Na posição de equilíbrio ( ):
    • Força de reação: . Não há força atuando.
    • Energia potencial: . A energia é mínima.
  • Quando a mola é deslocada ( ):
    • Força de reação: . A força atua na direção oposta ao deslocamento, tentando trazer a mola de volta para o equilíbrio.
    • Energia potencial: . A energia aumenta conforme o deslocamento aumenta.

Passo 6

Agora, vamos mostrar que a força da mola é a derivada da energia potencial em relação �� posição, com o sinal negativo. Vamos calcular a derivada de dUdx = ddx ( 12 k x^2 ) = k x em relação a F = -dUdx = -k x :
Então, a força é:
Isso confirma que a força da mola é a derivada da energia potencial, com o sinal negativo, indicando que a força atua na direção que diminui a energia.

Resposta

A força da mola é igual à derivada negativa da energia potencial em relação à posição, isto é, . Além disso, a força sempre aponta na direção onde a energia potencial diminui, puxando a mola de volta para a posição de equilíbrio.

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