Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por
, onde
é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e
é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio
. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que
(colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Esboce um gráfico da energia / função potencial elástica da mola em função da posição
em torno da posição de equilíbrio
. O que acontece com a força de reação da mola e com a energia potencial da mesma na posição de equilíbrio e quando se afasta da mesma? Mostre que a força da mola é dada pela derivada da energia potencial em função da posição (com o devido sinal) e que a mesma aponta na direção em que a energia diminui.
Esboce um gráfico da energia / função potencial elástica da mola em função da posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a mola que segue a Lei de Hooke. A gente precisa desenhar o gráfico da energia potencial da mola em função da posição e entender como a força de reação e a energia potencial se comportam tanto na posição de equilíbrio quanto quando a mola é deslocada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre forças elásticas, energia potencial e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento da sua posição de equilíbrio. Matematicamente, isso é expresso por:
Aqui,
é a constante elástica da mola e
é o deslocamento da mola em relação à posição de equilíbrio (que estamos considerando como a origem,
).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a energia potencial da mola. A energia potencial elástica armazenada na mola quando ela está comprimida ou esticada é dada por:
Essa fórmula mostra que a energia potencial depende do quadrado do deslocamento
e da constante elástica
.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da energia potencial
em função da posição
. Como
, o gráfico será uma parábola que abre para cima, com o ponto mais baixo na origem (quando
). Isso significa que a energia potencial é mínima na posição de equilíbrio e aumenta conforme a mola é deslocada para qualquer direção.
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece com a força de reação e a energia potencial na posição de equilíbrio e quando a mola é deslocada.
-
Na posição de equilíbrio (
): - Força de reação:
. Não há força atuando. - Energia potencial:
. A energia é mínima.
- Força de reação:
-
Quando a mola é deslocada (
): - Força de reação:
. A força atua na direção oposta ao deslocamento, tentando trazer a mola de volta para o equilíbrio. - Energia potencial:
. A energia aumenta conforme o deslocamento aumenta.
- Força de reação:
Passo 6
Agora, vamos mostrar que a força da mola é a derivada da energia potencial em relação �� posição, com o sinal negativo. Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então, a força
é:
Isso confirma que a força da mola é a derivada da energia potencial, com o sinal negativo, indicando que a força atua na direção que diminui a energia.
Resposta
A força da mola é igual à derivada negativa da energia potencial em relação à posição, isto é,
. Além disso, a força sempre aponta na direção onde a energia potencial diminui, puxando a mola de volta para a posição de equilíbrio.