Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por F=-k(x-x0), onde k é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e x-x0 é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio x0. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que x0=0 m (colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Através da análise dimensional, mostre que a equação omega0=raizk / m tem dimensões compatíveis com o que a grandeza representa na equação de movimento.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com a Lei de Hooke, que descreve a força que uma mola exerce quando é esticada ou comprimida. A equação dada é F=-k(x-x0), onde k é a constante elástica da mola e x-x0 é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio x0. Assumimos que x0 = 0 , m para simplificar.
A questão nos pede para usar a análise dimensional e mostrar que a equação omega0=raizkm tem dimensões compatíveis com o que omega0 representa na equação de movimento. Vamos precisar entender as unidades de k (constante elástica), m (massa) e omega0 (frequência angular).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é análise dimensional. É uma técnica que nos ajuda a verificar se as equações físicas estão corretas em termos de unidades. Cada termo de uma equação deve ter as mesmas dimensões.

Passo 3

Vamos identificar as dimensões de cada variável na equação omega0=raizkm.
  • Massa ( m): A dimensão da massa é [M].
  • Constante elástica ( k): Da Lei de Hooke, F = -kx. A força ( F) tem dimensões [M][L][T^-2], e o deslocamento ( x) tem dimensão [L]. Portanto, k deve ter dimensão [M][T^-2] para que a equação faça sentido:
    [k][x] = [M][T^-2][L] = [M][L][T^-2]
  • Frequência angular ( omega0): A frequência angular está relacionada ao movimento oscilatório e tem dimensão de radianos por segundo, mas como radiano é uma medida adimensional, a dimensão é simplesmente [T^-1].

Passo 4

Agora, vamos calcular a dimensão de raizkm:
raizkm = raiz[M][T^-2][M] = raiz[T^-2] = [T^-1]

Passo 5

Comparando as dimensões:
  • O lado esquerdo da equação, omega0, tem dimensão [T^-1].
  • O lado direito, raizkm, também tem dimensão [T^-1].

Resposta

A análise dimensional mostra que omega0 = raizkm possui dimensões [T^-1], que são compatíveis com as dimensões da frequência angular omega0 na equação de movimento.

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