Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por
, onde
é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e
é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio
. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que
(colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Através da análise dimensional, mostre que a equação
tem dimensões compatíveis com o que a grandeza representa na equação de movimento.
Através da análise dimensional, mostre que a equação
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com a Lei de Hooke, que descreve a força que uma mola exerce quando é esticada ou comprimida. A equação dada é
, onde
é a constante elástica da mola e
é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio
. Assumimos que
para simplificar.
A questão nos pede para usar a análise dimensional e mostrar que a equação
tem dimensões compatíveis com o que
representa na equação de movimento. Vamos precisar entender as unidades de
(constante elástica),
(massa) e
(frequência angular).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é análise dimensional. É uma técnica que nos ajuda a verificar se as equações físicas estão corretas em termos de unidades. Cada termo de uma equação deve ter as mesmas dimensões.
Passo 3
Vamos identificar as dimensões de cada variável na equação
.
-
Massa (
): A dimensão da massa é . -
Constante elástica (
): Da Lei de Hooke, . A força ( ) tem dimensões , e o deslocamento ( ) tem dimensão . Portanto, deve ter dimensão para que a equação faça sentido: -
Frequência angular (
): A frequência angular está relacionada ao movimento oscilatório e tem dimensão de radianos por segundo, mas como radiano é uma medida adimensional, a dimensão é simplesmente .
Passo 4
Agora, vamos calcular a dimensão de
:
Passo 5
Comparando as dimensões:
- O lado esquerdo da equação,
, tem dimensão . - O lado direito,
, também tem dimensão .
Resposta
A análise dimensional mostra que
possui dimensões
, que são compatíveis com as dimensões da frequência angular
na equação de movimento.