Considere uma mola obedecendo à lei de Hooke, que dita que a força de reação oferecida pela mesma é dada por
, onde
é uma constante (assim denominada constante elástica da mola) e
é o vetor deslocamento com relação à posição de equilíbrio
. Por comodidade e sem perda alguma de generalidade, podemos assumir que
(colocandose a origem do sistema de coordenadas na posição de equilíbrio da mola).
Considerando uma mola que fora distendida até um dado valor
e solta para se mover livremente e apenas sob a ação da força elástica da mola em seguida, determine a velocidade máxima que uma partícula presa à extremidade dessa mola pode atingir. Em que posição esta velocidade será máxima?
Considerando uma mola que fora distendida até um dado valor
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma mola que segue a lei de Hooke, que relaciona a força exercida pela mola ao seu deslocamento. A mola está sendo esticada até uma posição máxima $ \vec{x}_{máx} = A \hat{\boldsymbol{i}} $ e depois solta para oscilar livremente. Precisamos descobrir qual será a velocidade máxima que a partícula presa à mola pode atingir e em que posição essa velocidade ocorre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à energia elástica e ao movimento harmônico simples.
Passo 2
Vamos começar analisando a energia da mola quando ela está esticada na posição máxima. A energia armazenada na mola, chamada de energia potencial elástica, é dada por:
onde $ k $ é a constante elástica da mola e $ A $ é a amplitude do deslocamento.
Passo 3
Quando a mola é solta, essa energia potencial é convertida em energia cinética da partícula. A energia cinética é dada por:
onde $ m $ é a massa da partícula e $ v $ é a velocidade.
Passo 4
No ponto onde a partícula passa pela posição de equilíbrio ($ x = 0 $), toda a energia potencial foi convertida em energia cinética. Então, podemos igualar as duas energias:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade máxima $ v_{máx} $:
Passo 6
Portanto, a velocidade máxima que a partícula pode atingir é:
E essa velocidade máxima ocorre exatamente na posição de equilíbrio da mola, ou seja, quando $ x = 0 $.
Resposta
A velocidade máxima que a partícula pode atingir é $ v_{máx} = A \sqrt{\frac{k}{m}} $ e ela ocorre na posição de equilíbrio da mola ($ x = 0 $).