Duas bolas de bilhar com massas ligeiramente diferentes, uma com
e outra com
colidem frontalmente com velocidades iniciais em direções opostas dadas por
e
respectivamente. Admitindo-se uma colisão perfeitamente elástica ocorrendo num plano horizontal e desprezando-se o tamanho / defeitos de forma / energia de rotação das bolas, pede-se:
Escreva as equações para a conservação do momento linear e da energia considerando que as bolas adquirem velocidades vetoriais finais
e
após a colisão.
Escreva as equações para a conservação do momento linear e da energia considerando que as bolas adquirem velocidades vetoriais finais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bolas de bilhar que colidem frontalmente. Temos as massas das bolas e suas velocidades iniciais em direções opostas. O que a gente precisa fazer é escrever as equações que representam a conservação do momento linear e a conservação da energia nessa colisão perfeita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de colisões elásticas e aplicar as leis que garantem essas conservações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o momento linear. O momento linear de um objeto é dado pela fórmula:
onde:
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ \mathbf{v} $ é a sua velocidade.
Na colisão, a lei da conservação do momento linear diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. Então, vamos somar os momentos das duas bolas antes e depois da colisão.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula do momento linear para cada bola antes da colisão:
-
Para a bola 1:
-
Para a bola 2:
Como a colisão é em uma dimensão (reta horizontal), podemos considerar apenas a direção $ \hat{\mathbf{i}} $.
Passo 4
Agora, somamos os momentos iniciais:
E os momentos finais:
De acordo com a conservação do momento linear:
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a energia cinética. Em uma colisão perfeitamente elástica, a energia cinética total também é conservada. A energia cinética de cada bola é dada por:
Então, a energia cinética total antes da colisão é igual à energia cinética total depois da colisão:
Resposta
As equações para a conservação do momento linear e da energia são: