Determine para quais valores de m a função phi(x)=e^m x é uma solução para a equação dada.
d^3 yd x^3+3 d^2 yd x^2+2 d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que
phi(x)=e^m x
seja solução da equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
d^3 yd x^3 + 3 d^2 yd x^2 + 2 d yd x = 0
O método consiste em substituir phi na EDO e obter a equação característica.

Passo 2

Calculamos as derivadas de phi(x)=e^m x:
phi'(x) = m,e^m x, phi''(x) = m^2,e^m x, phi'''(x) = m^3,e^m x

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação diferencial, obtemos
m^3 e^m x + 3,m^2 e^m x + 2,m e^m x = 0
Como e^m xneq0, podemos dividir por e^m x e ficar com a equação característica em m:
m^3 + 3m^2 + 2m = 0

Passo 4

Fatorando o polinômio, temos
m(m^2 + 3m + 2) = m(m+1)(m+2) = 0,
cujas raízes são
m = 0, m = -1, m = -2

Resposta

Os valores de m são
m = 0,;-1,;-2

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