Determine para quais valores de m a função phi(x)=e^m x é uma solução para a equação dada.
d^2 yd x^2+6 d yd x+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de m tais que
phi(x)=e^m x
é solução da equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
d^2ydx^2+6dydx+5y=0
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica para EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de phi. Como phi(x)=e^m x, temos
phi'(x)=m,e^m x,
phi''(x)=m^2e^m x

Passo 3

Substituímos phi, phi' e phi'' na EDO:
phi''(x)+6phi'(x)+5phi(x) = m^2e^m x+6,m,e^m x+5e^m x=0
Como e^m xneq0 para todo x, podemos dividir por e^m x e obter a equação característica
m^2+6m+5=0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
m^2+6m+5=0
calculamos o discriminante:
De<a =6^2-4cdot1cdot5=36-20=16
Logo as raízes são
m = -6pmraiz162 = -6pm42,
isto é
m1=-1, m2=-5

Resposta

min-1,,-5

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