Considere
A=[ll 1 & 2 3 & 2 ]
Mostre que a matriz A é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=1 & 23 & 2
e pede para mostrar que A é diagonalizável.
Conteúdo necessário: definição de diagonalização (existência de base de autovetores), cálculo de polinômio característico, autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A usando
det(A - lambda I) =det1-lambda & 23 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)-6
Expandindo,
(1-lambda)(2-lambda)-6 =lambda^2-3lambda-4

Passo 3

Determinamos as raízes de lambda^2-3lambda-4=0 pelo discriminante:
De<a = (-3)^2-4cdot1cdot(-4)=9+16=25,
logo
lambda=3pmraiz252 ;Longrightarrow; lambda1=4, lambda2=-1
Como os dois autovalores são distintos, já temos forte indício de diagonalização.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada valor:
Para , resolvemos
Podemos escolher , , obtendo
.
Para , resolvemos
Tomando , , obtemos
.

Passo 5

Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes em R^2 e são autovetores de autovalores distintos. Logo formam base de autovetores e permitem escrever
A=PDP^-1,
onde
P=l[v1;v2r] =2 & 13 & -1, D=4 & 00 & -1

Resposta

A matriz A é diagonalizável, pois possui dois autovalores distintos e admite base de autovetores em R^2.

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