(a) Mostre que o sistema A X=B tem solução única.
(b) Determine explicitamente a solução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! Temos um sistema de equações representado pela matriz A e o vetor B :
A = x & y & z 1 & -1 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2 , B = 1 2 -1
Nosso objetivo aqui é, primeiro, mostrar que o sistema A X = B tem uma solução única e, depois, encontrar essa solução de forma explícita.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa ter uma “solução única” para o sistema A X = B . Isso quer dizer que existe apenas um conjunto de valores para X = (x, y, z)^top que satisfaz todas as equações simultaneamente.
Para verificar se o sistema tem uma solução única, vamos analisar a matriz A . Se a matriz for quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e o seu determinante for diferente de zero, então ela é invertível, o que garante que o sistema terá uma solução única.
Passo 3
Vamos verificar se a matriz A é quadrada. Contando as linhas e as colunas:
Número de linhas de A : 4
Número de colunas de A : 3
Como A tem 4 linhas e 3 colunas, ela não é uma matriz quadrada. Isso geralmente significa que o sistema pode ser sobredeterminado (mais equações do que incógnitas) ou subdeterminado (menos equações do que incógnitas).
Passo 4
Para sistemas não quadrados, em vez de usar o determinante, usamos o conceito de posto da matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes.
Se o posto de A for igual ao número de incógnitas (neste caso, 3), e igual ao posto da matriz aumentada (matriz A ampliada com o vetor B ), então o sistema terá uma solução única.
Passo 5
Vamos calcular o posto da matriz A . Observando A :
A = x & y & z 1 & -1 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2
Podemos ver que as últimas três linhas formam uma matriz triangular inferior:
1 & -1 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2
Essa submatriz tem determinante diferente de zero ( (-2) times (-2) times 1 = 4 neq 0 ), o que indica que ela tem posto 3. Portanto, o posto de A é pelo menos 3.
Aqui, notamos que o vetor B tem apenas 3 elementos, mas a matriz A tem 4 linhas. Isso sugere que há uma inconsistência no enunciado, mas para seguir em frente, vamos considerar apenas as primeiras 3 linhas de A .
Passo 7
Considerando apenas as primeiras 3 linhas de A :
A3x3 = 1 & -1 & 1 0 & -2 & 2 0 & 0 & -2
O determinante dessa matriz é:
det(A) = 1 times (-2) times (-2) = 4 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível, e portanto, o sistema A X = B tem uma solução única.
Passo 8
Agora que sabemos que o sistema tem uma solução única, vamos encontrar essa solução. Para isso, podemos usar a regra de Cramer ou calcular a inversa da matriz A e multiplicá-la pelo vetor B .
Vamos usar a regra de Cramer.
Passo 9
A regra de Cramer nos diz que cada variável pode ser encontrada substituindo a coluna correspondente na matriz A pelo vetor B e calculando o determinante dessa nova matriz, dividindo pelo determinante de A .
Primeiro, calculamos o determinante de A , que já sabemos ser 4.
Agora, vamos encontrar x , y e z :
x = det(Ax)det(A), y = det(Ay)det(A), z = det(Az)det(A)
onde Ax , Ay , Az são as matrizes A com as colunas correspondentes substituídas por B .
Agora, calculamos os determinantes de cada uma dessas matrizes:
det(Ax) = 1 times (2 times (-2) - 2 times 0) - (-1) times (2 times (-2) - 2 times (-1)) + 1 times (2 times 0 - (-2) times (-1)) = 1 times (-4) - (-1) times (-2) + 1 times (0 - 2) = -4 - 2 - 2 = -8
det(Ay) = 1 times (2 times (-2) - 2 times (-1)) - 1 times (0 times (-2) - 2 times 0) + 1 times (0 times (-1) - 2 times 0) = 1 times (-4 + 2) - 1 times 0 + 1 times 0 = -2
det(Az) = 1 times (-2 times (-1) - 2 times 0) - (-1) times (0 times (-1) - 2 times 0) + 1 times (0 times 0 - (-2) times 0) = 1 times (2) - (-1) times 0 + 1 times 0 = 2