Sabendo que 9 y^2-16 x^2-144 y+224 x-352=0 é a equação de uma hipérbole, indique os seus elementos.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
9y^2-16x^2-144y+224x-352=0
e pede seus elementos principais: centro, semi-eixos a e b, vértices, focos, assíntotas e excentricidade. Vamos primeiro reduzir a equação à forma padrão completando quadrados.

Passo 2

Agrupamos termos em y e em x e completamos quadrados:
9l(y^2-16yr);-;16l(x^2-14xr);-;352=0
Note que
y^2-16y=(y-8)^2-64, x^2-14x=(x-7)^2-49
Substituindo em volta de 9 e -16 e coletando constantes obtemos
9(y-8)^2-16(x-7)^2-144=0

Passo 3

Passando -144 para o outro lado e dividindo por 144, fica
(y-8)^216-(x-7)^29=1
Dessa forma vemos que o centro é
C=(7,8),
que a^2=16 (logo a=4) e b^2=9 (logo b=3). Como o termo positivo está em y, a hipérbole abre para cima e para baixo.

Passo 4

Os vértices ficam no centro deslocados de a ao longo do eixo y:
V1=(7,8+4)=(7,12), V2=(7,8-4)=(7,4)

Passo 5

O parâmetro c dos focos satisfaz
c^2=a^2+b^2=16+9=25, c=5
Logo os focos são
F1=(7,8+5)=(7,13), F2=(7,8-5)=(7,3)

Passo 6

As assíntotas de
(y-8)^216-(x-7)^29=1
são
y-8=pmab,(x-7) Longrightarrow y-8=pm43(x-7)
A excentricidade é
e=ca=54

Resposta

Centro: (7,8)
a=4, b=3, c=5, e=5/4
Vértices: (7,12) e (7,4)
Focos: (7,13) e (7,3)
Assíntotas: y-8=pm43(x-7)

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