Sabendo que
é a equação de uma hipérbole, indique os seus elementos.
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede seus elementos principais: centro, semi-eixos
e
, vértices, focos, assíntotas e excentricidade. Vamos primeiro reduzir a equação à forma padrão completando quadrados.
Passo 2
Agrupamos termos em
e em
e completamos quadrados:
Note que
Substituindo em volta de
e
e coletando constantes obtemos
Passo 3
Passando
para o outro lado e dividindo por
, fica
Dessa forma vemos que o centro é
que
(logo
) e
(logo
). Como o termo positivo está em
, a hipérbole abre para cima e para baixo.
Passo 4
Os vértices ficam no centro deslocados de
ao longo do eixo
:
Passo 5
O parâmetro
dos focos satisfaz
Logo os focos são
Passo 6
As assíntotas de
são
são
A excentricidade é
Resposta
Centro:
,
,
,
Vértices: e
Focos: e
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Assíntotas: