Considere a reta r:lx+y+z=0 y+z-2=0 e o plano pi1: x+2 z-3=0.
Determine uma equação geral para o plano pi que contém a reta r e é perpendicular ao plano pi1.

Passo 1

O enunciado dá a reta r como interseção dos planos
x+y+z=0
e
y+z-2=0,
e o plano pi1 de equação
x+2z-3=0
Queremos o plano pi que contém r e é perpendicular a pi1. Para isso, vamos usar cálculo vetorial: a reta r tem um vetor diretor u, a reta pi1 tem normal n1 e o plano pi terá normal n tal que
nperp u e nperp n1

Passo 2

Obtemos o vetor diretor u de r levando o produto vetorial dos normais dos planos que definem r. Os normais são
nA=(1,1,1) e nB=(0,1,1). Logo,
u = nAtimes nB =(1,1,1)times(0,1,1) =(0,-1,1)

Passo 3

O plano pi deve ser perpendicular a pi1, cujo normal é
n1=(1,0,2),
e deve ser perpendicular também ao vetor diretor u. Então sua normal n vale
n = utimes n1 =(0,-1,1)times(1,0,2) =(-2,1,1)
Multiplicando por -1 para simplificar, um normal equivalente é
n'=(2,-1,-1).

Passo 4

A equação geral de pi é
2x - y - z + D = 0
Para encontrar D, usamos um ponto de r. Tomando y=0 em r temos z=2 e x=-(y+z)=-2, logo o ponto P=(-2,0,2) pertence a r. Substituindo em 2x - y - z + D=0:
2(-2)-0-2 + D = 0 ;Longrightarrow; -4 -2 + D = 0 ;Longrightarrow; D = 6

Resposta

A equação geral do plano pi é
2x - y - z + 6 = 0

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