Uma partícula parte da origem em t=0 com uma velocidade de 4,0 \boldsymbol{j} e se move no plano x y, com aceleração constante igual a 4,0 \boldsymbol{i}-1,0 \boldsymbol{j} (Unidades do S.I.). Quando a coordenada x da partícula for igual a 12 m , determine:
a coordena y;

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (tirei todos os números do enunciado):
  • Posição inicial: partiu da origem, portanto x_0=0 e y_0=0.
  • Velocidade inicial: \;4,0\boldsymbol{j}, isto é, v_{0x}=0 e v_{0y}=4,0\\ \text{m/s}.
  • Aceleração constante: \;4,0\boldsymbol{i}-1,0\boldsymbol{j}, isto é, a_x=4,0\\ \text{m/s}^2 e a_y=-1,0\\ \text{m/s}^2.
    O que se pede: determinar a coordenada y da partícula no instante em que a coordenada x vale 12\\ \text{m}.

Passo 2

Principial útil (fórmula que vamos usar): para movimento com aceleração constante, a posição em função do tempo é
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\mathbf{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\mathbf{a}t^2.
Isso significa que cada componente satisfaz a versão escalar
x(t)=x_0+v_{0x}t+\tfrac{1}{2}a_x t^2, \qquad y(t)=y_0+v_{0y}t+\tfrac{1}{2}a_y t^2.
Explicando rápido: a posição é a soma da posição inicial, do deslocamento devido à velocidade inicial ( v_0 t) e do deslocamento adicional produzido pela aceleração ( \tfrac{1}{2}a t^2). As componentes se resolvem separadamente porque as componentes x e y são independentes quando a aceleração é constante.

Passo 3

Aplicando os dados à componente x:
x(t)=x_0+v_{0x}t+\tfrac{1}{2}a_x t^2=0+0\cdot t+\tfrac{1}{2}\cdot(4,0)\,t^2=2,0\,t^2.
Queremos o instante em que x(t)=12\\ \text{m}. Então
2,0\,t^2=12\quad\Rightarrow\quad t^2=6.

Passo 4

Solução para t: t=\pm\sqrt{6}. Como estamos interessados no instante futuro (tempo positivo), tomamos
t=\sqrt{6}\\ \text{s}\approx 2,449\\ \text{s}.
(Descartar a raiz negativa: tempo negativo corresponderia a um instante antes do início do movimento.)

Passo 5

Agora usamos a componente y. A fórmula com os dados é
y(t)=y_0+v_{0y}t+\tfrac{1}{2}a_y t^2=0+4,0\,t+\tfrac{1}{2}(-1,0)\,t^2=4,0\,t-0,5\,t^2.
Como já sabemos que t^2=6, podemos simplificar sem precisar recalcular t completamente:
y=4,0\,t-0,5\cdot 6=4,0\,t-3,0.
Substituindo t=\sqrt{6} obtemos a expressão exata
y=4\sqrt{6}-3.
Fazendo a aproximação numérica com \sqrt{6}\approx 2,449:
y\approx 4\cdot 2,449-3=9,798-3=6,798\\ \text{m}\approx 6,80\\ \text{m}.

Passo 6

Interpretação curta e ânimo: a coordenada y quando x=12\\ \text{m} é positiva, cerca de 6,8\\ \text{m}. Você aplicou direto as fórmulas padrão de movimento com aceleração constante e usou a componente x para achar o tempo; esse é o jeito padrão e rápido na prova — ótimo trabalho chegando até aqui!

Resposta

y=4\sqrt{6}-3\approx 6,80\\ \text{m}

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