Um motorista vê o sinal vermelho distante e, ao invés de frear, coloca o carro em ponto morto, deixando que ele diminua sua velocidade lentamente. Suponha que nesta circunstância a velocidade do automóvel obedeça à equação
onde
e
. Determine:
a) a aceleração para instante inicial,
; (
)
b) o deslocamento para
; (70,6 m)
c) a velocidade quando o deslocamento for de
a) a aceleração para instante inicial,
b) o deslocamento para
c) a velocidade quando o deslocamento for de
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Velocidade em função do tempo:
. - Valores numéricos fornecidos:
-
- Perguntas:
a) Determinar a aceleração no instante inicial.
b) Determinar o deslocamento (posição relativa ao início) em.
c) Determinar a velocidade quando o deslocamento for.
Passo 2
Conceito e cálculo da aceleração: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
Aplicando a derivada na função exponencial dada:
A derivada de
em relação a
é
. Portanto
No instante inicial
temos
, então
Agora substituímos os números:
O resultado, com unidades, é
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que o carro está desacelerando (a velocidade diminui).
Passo 3
Deslocamento a partir da velocidade: o deslocamento (medido a partir de
) é a integral da velocidade no tempo:
Integramos a exponencial. A primitiva de
é
. Assim,
Como
, reorganizando:
Agora calculamos para
. Primeiro o coeficiente:
Calcule
. Usando uma aproximação numérica:
Então
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos
Passo 4
Velocidade quando o deslocamento for
. Há duas maneiras; vou usar um atalho algébrico prático:
Da expressão do deslocamento já obtida,
Isolando
:
A velocidade é
. Substituindo a expressão anterior:
Ou seja, para esse modelo exponencial há uma relação linear direta entre velocidade e deslocamento:
.
Agora substituímos
:
Com unidades:
Passo 5
Resumo rápido e checagem: os sinais e ordens de grandeza fazem sentido — aceleração negativa indicando frenagem; deslocamento após 5 s da ordem de algumas dezenas de metros; e velocidade após o carro ter percorrido 50 m ainda positiva,
(cerca de 45 km/h), coerente com desaceleração moderada.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)