Um motorista vê o sinal vermelho distante e, ao invés de frear, coloca o carro em ponto morto, deixando que ele diminua sua velocidade lentamente. Suponha que nesta circunstância a velocidade do automóvel obedeça à equação
v=v_{0} \exp (-b t)
onde v_{0}=20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e b=0,150 \mathrm{~s}^{-1}. Determine:
a) a aceleração para instante inicial, t=0; ( -3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
b) o deslocamento para t=5,0 \mathrm{~s}; (70,6 m)
c) a velocidade quando o deslocamento for de 50,0 \mathrm{~m} .(12,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s})

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Velocidade em função do tempo: v(t)=v_{0}\exp(-b t).
  • Valores numéricos fornecidos:
    • v_{0}=20{,}0\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
    • b=0{,}150\\ \mathrm{s^{-1}}
  • Perguntas:
    a) Determinar a aceleração no instante inicial t=0.
    b) Determinar o deslocamento (posição relativa ao início) em t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
    c) Determinar a velocidade quando o deslocamento for 50{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e cálculo da aceleração: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Aplicando a derivada na função exponencial dada:
v(t)=v_{0}\exp(-b t)\quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{dt}=v_{0}\frac{d}{dt}\bigl(\exp(-b t)\bigr).
A derivada de \exp(-b t) em relação a t é -b\exp(-b t). Portanto
a(t)=v_{0}\bigl(-b\exp(-b t)\bigr)=-b\,v_{0}\exp(-b t).
No instante inicial t=0 temos \exp(0)=1, então
a(0)=-b\,v_{0}.
Agora substituímos os números:
a(0) = -\bigl(0{,}150\bigr)\bigl(20{,}0\bigr) = -3{,}0.
O resultado, com unidades, é
a(0)=-3{,}0\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que o carro está desacelerando (a velocidade diminui).

Passo 3

Deslocamento a partir da velocidade: o deslocamento (medido a partir de t=0) é a integral da velocidade no tempo:
s(t)=\int_{0}^{t} v(t')\,dt'=\int_{0}^{t} v_{0}\exp(-b t')\,dt'.
Integramos a exponencial. A primitiva de \exp(-b t') é -\frac{1}{b}\exp(-b t'). Assim,
s(t)=v_{0}\left[-\frac{1}{b}\exp(-b t')\right]_{0}^{t} = -\frac{v_{0}}{b}\exp(-b t)+\frac{v_{0}}{b}\exp(0).
Como \exp(0)=1, reorganizando:
s(t)=\frac{v_{0}}{b}\bigl(1-\exp(-b t)\bigr).
Agora calculamos para t=5{,}0\\ \mathrm{s}. Primeiro o coeficiente:
\frac{v_{0}}{b}=\frac{20{,}0}{0{,}150}=133{,}333\ldots
Calcule \exp(-b t)=\exp(-0{,}150\cdot 5{,}0)=\exp(-0{,}75). Usando uma aproximação numérica:
\exp(-0{,}75)\approx 0{,}47236655.
Então
s(5{,}0)=133{,}333\ldots\bigl(1-0{,}47236655\bigr) =133{,}333\ldots\cdot 0{,}52763345\approx 70{,}35.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos
s(5{,}0)\approx 70{,}35\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Velocidade quando o deslocamento for 50{,}0\\ \mathrm{m}. Há duas maneiras; vou usar um atalho algébrico prático:
Da expressão do deslocamento já obtida,
s(t)=\frac{v_{0}}{b}\bigl(1-\exp(-b t)\bigr).
Isolando \exp(-b t):
\exp(-b t)=1-\frac{b\,s(t)}{v_{0}}.
A velocidade é v(t)=v_{0}\exp(-b t). Substituindo a expressão anterior:
v = v_{0}\left(1-\frac{b s}{v_{0}}\right) = v_{0}-b s.
Ou seja, para esse modelo exponencial há uma relação linear direta entre velocidade e deslocamento: v=v_{0}-b s.
Agora substituímos s=50{,}0\\ \mathrm{m}:
v = 20{,}0 - 0{,}150\cdot 50{,}0 = 20{,}0 - 7{,}5 = 12{,}5.
Com unidades:
v=12{,}5\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 5

Resumo rápido e checagem: os sinais e ordens de grandeza fazem sentido — aceleração negativa indicando frenagem; deslocamento após 5 s da ordem de algumas dezenas de metros; e velocidade após o carro ter percorrido 50 m ainda positiva, 12{,}5\\ \mathrm{m\,s^{-1}} (cerca de 45 km/h), coerente com desaceleração moderada.

Resposta

a) -3{,}0\\ \mathrm{m\,s^{-2}}
b) 70{,}35\\ \mathrm{m}
c) 12{,}5\\ \mathrm{m\,s^{-1}}

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