Determine uma forma adequada da solução auxiliar y_{a}(t) para usar o método dos coeficientes a determinar, dada a equação diferencial:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=2 t^{2}+4 t e^{2 t}+t \sin (2 t)
R: y_{a}(t)=A t^{2}+B t+C+\left(D t^{3}+E t^{2}\right) e^{2 t}+(F t+G) \sin (2 t)+(H t+I) \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma forma adequada da solução auxiliar y_{a}(t) para aplicar o método dos coeficientes a determinar na equação
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=2t^{2}+4t\,e^{2t}+t\sin(2t).
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{termos da força (lado direito): }2t^{2},\quad 4t\,e^{2t},\quad t\sin(2t).ç
Nenhuma outra informação (como condições iniciais) foi fornecida; o objetivo aqui é apenas propor a forma de y_{a}(t) com coeficientes a determinar.

Passo 2

Vamos entender quais formas de termos forçados exigem que a tentativa contenha certos tipos de funções. Primeiro eu calculo a solução geral da parte homogênea associada ao operador diferencial, porque isso determina possíveis fatores de multiplicação por t (resonância) na tentativa particular.
A equação característica associada a y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0 é
r^{2}-4r+4=0.
Resolvo essa equação quadrática: o discriminante é \Delta=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot4=16-16=0, portanto existe uma raiz real dupla:
r=2\quad\text{(multiplicidade 2)}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{2t}.
Dessa observação extraímos a informação crucial: qualquer termo da forma P(t)e^{2t} no lado direito está em ressonância com a homogênea com multiplicidade s=2. Isso significa que a tentativa para um termo P(t)e^{2t} deve ser multiplicada por t^{s}=t^{2}.

Passo 3

Agora trato separadamente cada termo do lado direito e proponho a forma de tentativa para cada um, explicando por quê.
  1. Termo polinomial 2t^{2}.
  • Regra prática: para um termo polinomial P_{m}(t) de grau m (aqui m=2), uma tentativa adequada é um polinômio geral de grau m:
\text{tentativa para }2t^{2}:\quad A t^{2}+B t+C,
onde A,B,C são constantes a determinar. Não existe ressonância com e^{2t} aqui (o polinômio corresponde a \alpha=0, e r=0 não é raiz do característico), então não multiplicamos por potências de t.

Passo 4

  1. Termo exponencial-polinomial 4t\,e^{2t}.
  • Regra prática: para um termo Q_{n}(t)e^{\alpha t} com Q_{n} polinômio de grau n, a tentativa é t^{s} \cdot R_{n}(t)e^{\alpha t}, onde R_{n}(t) é um polinômio de grau n com coeficientes a determinar, e s é a multiplicidade da raiz r=\alpha na equação característica.
  • Aqui \alpha=2. Já vimos no Passo 2 que r=2 é raiz dupla, ou seja s=2.
  • O polinômio multiplicador original tem grau n=1 (porque o termo é linear em t: 4t). Então tomo um polinômio de grau 1, digamos D t+E.
  • Multiplico por t^{s}=t^{2} e pelo exponencial e^{2t}. Assim a tentativa para esse termo fica
\text{tentativa para }4t\,e^{2t}:\quad t^{2}(D t+E)e^{2t}= (D t^{3}+E t^{2})e^{2t},
onde D,E são constantes a determinar. Aqui explico de novo: o fator t^{2} é necessário para “sair” da solução homogênea, porque sem ele qualquer função do tipo (\cdot)e^{2t} poderia ser anulada pelo operador homogêneo.

Passo 5

  1. Termo trigonométrico t\sin(2t).
  • Regra prática: para termos do tipo S_{m}(t)\cos(\omega t)+T_{m}(t)\sin(\omega t) multiplicados por e^{\beta t}, usa-se uma tentativa com polinômios do mesmo grau m nas partes seno e cosseno, multiplicadas por e^{\beta t}. No caso puro trigonométrico, \beta=0.
  • Além disso, se \beta\pm i\omega coincidirem com raízes do polinômico característico, haveria ressonância e multiplicação por t^{s}. Aqui \beta\pm i\omega= \pm 2i. Substituindo r=2i em r^{2}-4r+4 temos
(2i)^{2}-4(2i)+4=-4-8i+4=-8i\neq 0,
portanto \pm 2i não são raízes do característico; não há ressonância e s=0.
  • O polinômio multiplicador é de grau m=1 (porque o termo é t multiplicando \sin(2t)), então proponho polinômiais de grau 1 tanto para o \sin quanto para o \cos. Assim a tentativa para esse bloco é
\text{tentativa para }t\sin(2t):\quad (F t+G)\sin(2t)+(H t+I)\cos(2t),
onde F,G,H,I são constantes a determinar. Explico: precisamos incluir tanto seno quanto cosseno porque ao operar com um operador linear com coeficientes reais um termo \sin gera, ao derivar, combinações de \sin e \cos; para ter liberdade suficiente de ajuste devemos incluir ambas as funções.

Passo 6

Agora somo as tentativas dos três blocos (polinomial, exponencial-polinomial e trigonométrico) para obter a forma completa da solução particular candidata y_{a}(t). Vou listar todos os coeficientes distintos com letras diferentes (para que não haja confusão quando for aplicar o operador e comparar coeficientes).
Somando:
y_{a}(t)=A t^{2}+B t+C+\bigl(D t^{3}+E t^{2}\bigr)e^{2t}+(F t+G)\sin(2t)+(H t+I)\cos(2t).

Resposta

y_{a}(t)=A t^{2}+B t+C+\left(D t^{3}+E t^{2}\right)e^{2 t}+(F t+G) \sin (2 t)+(H t+I) \cos (2 t)

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