Determine uma forma adequada da solução auxiliar
para usar o método dos coeficientes a determinar, dada a equação diferencial:
R:
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma forma adequada da solução auxiliar
para aplicar o método dos coeficientes a determinar na equação
Informações relevantes dadas no enunciado:
Nenhuma outra informação (como condições iniciais) foi fornecida; o objetivo aqui é apenas propor a forma de
com coeficientes a determinar.
Passo 2
Vamos entender quais formas de termos forçados exigem que a tentativa contenha certos tipos de funções. Primeiro eu calculo a solução geral da parte homogênea associada ao operador diferencial, porque isso determina possíveis fatores de multiplicação por
(resonância) na tentativa particular.
A equação característica associada a
é
Resolvo essa equação quadrática: o discriminante é
, portanto existe uma raiz real dupla:
Logo a solução geral da homogênea é
Dessa observação extraímos a informação crucial: qualquer termo da forma
no lado direito está em ressonância com a homogênea com multiplicidade
. Isso significa que a tentativa para um termo
deve ser multiplicada por
.
Passo 3
Agora trato separadamente cada termo do lado direito e proponho a forma de tentativa para cada um, explicando por quê.
- Termo polinomial
.
- Regra prática: para um termo polinomial
de grau (aqui ), uma tentativa adequada é um polinômio geral de grau :
onde
são constantes a determinar. Não existe ressonância com
aqui (o polinômio corresponde a
, e
não é raiz do característico), então não multiplicamos por potências de
.
Passo 4
- Termo exponencial-polinomial
.
- Regra prática: para um termo
com polinômio de grau , a tentativa é , onde é um polinômio de grau com coeficientes a determinar, e é a multiplicidade da raiz na equação característica. - Aqui
. Já vimos no Passo 2 que é raiz dupla, ou seja . - O polinômio multiplicador original tem grau
(porque o termo é linear em : ). Então tomo um polinômio de grau , digamos . - Multiplico por
e pelo exponencial . Assim a tentativa para esse termo fica
onde
são constantes a determinar. Aqui explico de novo: o fator
é necessário para “sair” da solução homogênea, porque sem ele qualquer função do tipo
poderia ser anulada pelo operador homogêneo.
Passo 5
- Termo trigonométrico
.
- Regra prática: para termos do tipo
multiplicados por , usa-se uma tentativa com polinômios do mesmo grau nas partes seno e cosseno, multiplicadas por . No caso puro trigonométrico, . - Além disso, se
coincidirem com raízes do polinômico característico, haveria ressonância e multiplicação por . Aqui . Substituindo em temos
portanto
não são raízes do característico; não há ressonância e
.
- O polinômio multiplicador é de grau
(porque o termo é multiplicando ), então proponho polinômiais de grau 1 tanto para o quanto para o . Assim a tentativa para esse bloco é
onde
são constantes a determinar. Explico: precisamos incluir tanto seno quanto cosseno porque ao operar com um operador linear com coeficientes reais um termo
gera, ao derivar, combinações de
e
; para ter liberdade suficiente de ajuste devemos incluir ambas as funções.
Passo 6
Agora somo as tentativas dos três blocos (polinomial, exponencial-polinomial e trigonométrico) para obter a forma completa da solução particular candidata
. Vou listar todos os coeficientes distintos com letras diferentes (para que não haja confusão quando for aplicar o operador e comparar coeficientes).
Somando: