Considere que o movimento de um pêndulo em movimento harmônico simples (MHS) tenha amplitude máxima de 5 cm , leve 10 s para sair de uma posição e voltar a mesma posição e que se movimento comece em x0=4 cm em t=0 s. Defina a equação do movimento em função do tempo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um pêndulo em MHS tem:
  • Amplitude máxima A = 5 cm
  • Leva 10 s para sair de uma posição e voltar a ela (ou seja, o período T = 10 s)
  • No instante t = 0, está em x₀ = 4 cm
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS), relacionar período e frequência angular, escrever a equação geral do MHS e achar a fase inicial φ.
Vamos precisar de:
  • A fórmula da frequência angular: ω = 2π/T
  • A forma geral da solução: x(t) = A·cos(ωt + φ)
  • Condição inicial x(0) = x₀ para determinar φ

Passo 2

Calcular a frequência angular ω:
omega = 2piT = 2pi10 s = pi5 rad/s
Isso acontece porque, em MHS, o período T e a frequência angular ω se relacionam por ω = 2π/T.

Passo 3

Escrever a equação geral do deslocamento em MHS:
x(t) = A ,cosl(omega t + varphir)
Aqui:
  • A = 5 cm
  • ω = π/5 rad/s
  • φ = fase inicial, ainda a descobrir

Passo 4

Determinar a fase inicial φ usando x(0) = x₀:
x(0) = Acos(varphi) = x0 Longrightarrow cos(varphi) = x0A = 45
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varphi = arccos!l(tfrac45r)
Isso garante que, no instante zero, o pêndulo esteja em 4 cm.

Resposta

boxed x(t) = 5,cos!l(tfracpi5,t + arccostfrac45r);cm

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