O fabricante de uma cûÂmara frigorûÙfica informa em seu manual de instruûÏûçes tûˋcnicas que a temperatura T em graus Celsius (C^circ) no interior da cûÂmara t horas apû°s ela ser ligada ûˋ dada por T(t)=20-32 t+2 e^-0,3 t, onde 0 <= t <= 10. Sabendo disto, determine a taxa de variaûÏûÈo da temperatura no interior desta cûÂmara 7 horas apû°s ela ser ligada.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura interna da câmara em função do tempo t (em horas) como
T(t) = 20 - tfrac32,t + 2,e^-0,3,t,
para 0 <= t <= 10. Pede-se a taxa de variação da temperatura 7 horas após o ligamento, ou seja, queremos calcular T'(7).

Passo 2

Vamos derivar T(t) em relação a t. Lembrando que ddte^-0,3,t = -0,3,e^-0,3,t, temos
T'(t) = ddtl(20r) - ddtl(tfrac32,tr) + 2,ddtl(e^-0,3,tr) = 0 - tfrac32 + 2l(-0,3,e^-0,3,tr)
Logo,
T'(t) = -tfrac32 ;-; 0,6,e^-0,3,t

Passo 3

Substituindo t=7 em T'(t), obtemos
T'(7) = -tfrac32 ;-; 0,6,e^-0,3cdot7 = -tfrac32 ;-; 0,6,e^-2,1

Passo 4

Para um valor aproximado usemos e^-2,1approx0,1225. Então
T'(7) approx -1,5 ;-; 0,6times0,1225 = -1,5 ;-; 0,0735 = -1,5735

Resposta

A taxa de variação da temperatura 7 horas após ligar a câmara é aproximadamente -1,57 ^circC/h, indicando que a temperatura está caindo a cerca de ,1,57 ^circC por hora.

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