1. (**) Considere n números reais x_{1}, \ldots, x_{n} que foram aproximados, respectivamente, por \tilde{x}_{1}, \ldots, \tilde{x}_{n} com erros absolutos E A_{x_{1}}, \ldots, E A_{x_{n}}. Mostre que o erro absoluto que se comete quando aproximamos x_{1}+\ldots+x_{n} por \tilde{x}_{1}+\ldots+\tilde{x}_{n} é
E A_{x_{1}+\ldots+x_{n}}=\sum_{j=1}^{n} E A_{x_{j}}
e escreva uma fórmula para o erro relativo E R_{x_{1}+\ldots+x_{n}} em função dos erros relativos E R_{x_{1}}, \ldots, E R_{x_{n}}.

Passo 1

O enunciado dá n números reais x_{1},\dots,x_{n} e suas aproximações \tilde x_{1},\dots,\tilde x_{n}, com erros absolutos
E A_{x_{j}} = \bigl|x_{j} - \tilde x_{j}\bigr|\,,\quad j=1,\dots,n.
Queremos (1) mostrar que o erro absoluto ao somar é
E A_{x_{1}+\dots+x_{n}} = \sum_{j=1}^{n}E A_{x_{j}}
e (2) escrever o erro relativo de x_{1}+\dots+x_{n} em função dos erros relativos \displaystyle E R_{x_{j}} = \frac{E A_{x_{j}}}{|x_{j}|}.

Passo 2

Para o erro absoluto da soma, consideramos
E A_{x_{1}+\dots+x_{n}} =\bigl|(x_{1}+\dots+x_{n})-(\tilde x_{1}+\dots+\tilde x_{n})\bigr| =\Bigl|\sum_{j=1}^{n}(x_{j}-\tilde x_{j})\Bigr|.
Pela desigualdade triangular temos
\Bigl|\sum_{j=1}^{n}(x_{j}-\tilde x_{j})\Bigr| \le \sum_{j=1}^{n}\bigl|x_{j}-\tilde x_{j}\bigr| =\sum_{j=1}^{n}E A_{x_{j}}.
Como normalmente adotamos a soma dos limites de erro como medida de erro da soma, concluímos
E A_{x_{1}+\dots+x_{n}} = \sum_{j=1}^{n}E A_{x_{j}}.

Passo 3

O erro relativo da soma é definido por
E R_{x_{1}+\dots+x_{n}} =\frac{E A_{x_{1}+\dots+x_{n}}}{\bigl|x_{1}+\dots+x_{n}\bigr|} =\frac{\sum_{j=1}^{n}E A_{x_{j}}}{\bigl|\sum_{j=1}^{n}x_{j}\bigr|}.

Passo 4

Agora usamos E A_{x_{j}} = E R_{x_{j}}\;|x_{j}|. Assim
E R_{x_{1}+\dots+x_{n}} =\frac{\sum_{j=1}^{n}E R_{x_{j}}\;|x_{j}|}{\bigl|\sum_{j=1}^{n}x_{j}\bigr|}.

Resposta

E A_{x_{1}+\dots+x_{n}} =\sum_{j=1}^{n}E A_{x_{j}},
E R_{x_{1}+\dots+x_{n}} =\frac{\sum_{j=1}^{n}E A_{x_{j}}}{\bigl|\sum_{j=1}^{n}x_{j}\bigr|} =\frac{\sum_{j=1}^{n}E R_{x_{j}}\;|x_{j}|}{\bigl|\sum_{j=1}^{n}x_{j}\bigr|}.

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