1. (**)Dada uma função (n+1) vezes derivável f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}, a fórmula de Taylor com resto de Lagrange de f em torno de x_{0} \in(a, b) é dada por
f(x)=f\left(x_{0}\right)+\sum_{j=1}^{n} \frac{f^{(j)}\left(x_{0}\right)}{j!}\left(x-x_{0}\right)^{j}+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1},
onde f^{(j)} representa a derivada de ordem j de f e \xi \in\left(x_{0}, x\right). O termo
R_{n}\left(x_{0}, x\right)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}
é o resto (ou erro) de ordem n na aproximação da função f(x) pelo polinômio de Taylor de grau n :
P_{n}(x)=f\left(x_{0}\right)+\sum_{j=1}^{n} \frac{f^{(j)}\left(x_{0}\right)}{j!}\left(x-x_{0}\right)^{j} .
Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=e^{x}.
a) Escreva o polinômio de Taylor de grau 4 de f(x) em torno de x_{0}=0.
b) Calcule o valor aproximado de e^{0.82} utilizando o polinômio de Taylor do item a). Faça uma aproximação por arredondamento em 4 casas decimais.
c) Determine uma estimativa para os erros absoluto |E A| e relativo |E R| na aproximação de e^{0.82} feita no item b), ignorando o erro de arredondamento. (Dica: utilize o fato de que e<2.72 e 0<\xi<0.82<1.)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função f(x)=e^{x} usando o polinômio de Taylor de grau 4 em torno de x_{0}=0, depois avaliar essa aproximação em x=0.82 e, por fim, estimar o erro absoluto e relativo usando o resto de Lagrange. Vamos usar que as derivadas de e^{x} são todas e^{x} e a fórmula do resto
R_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1},\quad \xi\in(x_{0},x).

Passo 2

O polinômio de Taylor de grau 4 de f(x)=e^{x} em torno de 0 é
P_{4}(x)=\sum_{j=0}^{4}\frac{f^{(j)}(0)}{j!}x^{j} =\sum_{j=0}^{4}\frac{1}{j!}x^{j} =1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!}.

Passo 3

Para calcular P_{4}(0.82) fazemos termo a termo:
1=1, \quad 0.82=0.82, \quad \frac{0.82^{2}}{2}=0.3362, \quad \frac{0.82^{3}}{6}\approx0.0918947, \quad \frac{0.82^{4}}{24}\approx0.0188384.
Somando:
P_{4}(0.82)\approx1 + 0.82 + 0.3362 + 0.0918947 + 0.0188384 =2.2669331\approx2.2669.

Passo 4

O resto de ordem 4 em x=0.82 é
R_{4}(0,0.82) =\frac{e^{\xi}}{5!}(0.82)^{5},\quad \xi\in(0,0.82).
Como e^{\xi}\le e<2.72 e
0.82^{5}=0.82\cdot0.82^{4}\approx0.82\cdot0.4521\approx0.3717,
temos
|R_{4}|\le\frac{2.72\cdot0.3717}{120}\approx\frac{1.0111}{120}\approx0.00843.

Passo 5

O erro absoluto satisfaz
|EA|=|R_{4}|<0.00843.
O erro relativo fica
|ER|=\frac{|EA|}{e^{0.82}}\;<\;\frac{0.00843}{2.2669}\approx0.0037.

Resposta

a) P_{4}(x)=1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{4}}{24}.
b) e^{0.82}\approx P_{4}(0.82)=2.2669.
c) |EA|<0.00843,\quad |ER|<0.0037.

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