- (**)Dada uma função
vezes derivável
, a fórmula de Taylor com resto de Lagrange de
em torno de
é dada por
onde
representa a derivada de ordem
de
e
. O termo
é o resto (ou erro) de ordem
na aproximação da função
pelo polinômio de Taylor de grau
:
Seja
dada por
.
a) Escreva o polinômio de Taylor de grau 4 de
em torno de
.
b) Calcule o valor aproximado de
utilizando o polinômio de Taylor do item a). Faça uma aproximação por arredondamento em 4 casas decimais.
c) Determine uma estimativa para os erros absoluto
e relativo
na aproximação de
feita no item b), ignorando o erro de arredondamento. (Dica: utilize o fato de que
e
.)
a) Escreva o polinômio de Taylor de grau 4 de
b) Calcule o valor aproximado de
c) Determine uma estimativa para os erros absoluto
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a função
usando o polinômio de Taylor de grau 4 em torno de
, depois avaliar essa aproximação em
e, por fim, estimar o erro absoluto e relativo usando o resto de Lagrange. Vamos usar que as derivadas de
são todas
e a fórmula do resto
Passo 2
O polinômio de Taylor de grau 4 de
em torno de
é
Passo 3
Para calcular
fazemos termo a termo:
Somando:
Passo 4
O resto de ordem 4 em
é
Como
e
temos
Passo 5
O erro absoluto satisfaz
O erro relativo fica
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)