(*) Considere números x, y e z com aproximações \tilde{x}=1.103, \tilde{y}=-3.09 e \tilde{z}=5.77 e erros absolutos E A_{x}=0.003, E A_{y}=0.2 e E A_{z}=0.33, respectivamente. Determine os erros absoluto e relativo totais cometidos no cálculo da expressão x \cdot y-2 z, quando aproximamos por \tilde{x} \cdot \tilde{y}-2 \tilde{z}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o erro absoluto total e o erro relativo total na avaliação da função
f(x,y,z)=x\,y-2z
quando usamos as aproximações \tilde x=1.103, \tilde y=-3.09, \tilde z=5.77 com erros absolutos E A_x=0.003, E A_y=0.2, E A_z=0.33.

Passo 2

Usamos a fórmula de propagação de erros em primeira ordem:
E A_f \approx \Bigl|\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr|\,E A_x \;+\;\Bigl|\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr|\,E A_y \;+\;\Bigl|\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr|\,E A_z.
Como \frac{\partial f}{\partial x}=y, \frac{\partial f}{\partial y}=x e \frac{\partial f}{\partial z}=-2,

Passo 3

Substituindo pelos valores aproximados nos coeficientes e nos erros:
E A_f \approx |\tilde y|\,E A_x \;+\;|\tilde x|\,E A_y \;+\;2\,E A_z
E A_f \approx 3.09\cdot0.003 \;+\;1.103\cdot0.2 \;+\;2\cdot0.33
E A_f \approx 0.00927 \;+\;0.2206 \;+\;0.66 = 0.88987\approx0.89.

Passo 4

Agora calculamos a aproximação de f:
\tilde f = \tilde x\,\tilde y - 2\,\tilde z = 1.103\cdot(-3.09) -2\cdot5.77 = -3.40827 -11.54 = -14.94827.

Passo 5

O erro relativo total é
E R_f = \frac{E A_f}{|\tilde f|} = \frac{0.88987}{14.94827}\approx0.0596.

Resposta

Erro absoluto total: E A_f \approx 0.89
Erro relativo total: E R_f \approx 0.0596 (aprox.\ 5.96\%)

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