Considere
com
e o número binomial definido por
onde
e
.
(a) Demonstre a relação de Stiefel:
, para
.
(b) Mostre que
é um número natural, para todos
nas condições da definição.
(c) Mostre a fórmula do binômio de Newton por indução:
(a) Demonstre a relação de Stiefel:
(b) Mostre que
(c) Mostre a fórmula do binômio de Newton por indução:
Passo 1
O enunciado trata de coeficientes binomiais e pede:
- (a) provar a relação de Stiefel (às vezes chamada de identidade de Pascal)
- (b) mostrar que
para - (c) demonstrar por indução a fórmula do binômio de Newton
Vamos usar manipulação de fatoriais, interpretação combinatória e indução matemática.
Passo 2
Demonstração da relação de Stiefel
Usamos a definição
Usamos a definição
para
. Então
No segundo termo note que
. Colocando o mesmo denominador
e somando:
Passo 3
Mostre
via indução em
Caso base : o único valor possível é
e
.
Passo indutivo: suponha para todo
. Para
e
usamos a relação de Stiefel:
Caso base
Passo indutivo: suponha
ambos os termos do lado direito são naturais por hipótese de indução, logo
. Também
. Então vale para todo
.
Passo 4
Demonstre o binômio de Newton por indução em
Para temos
e
.
Suponha que
Para
Suponha que
Então
Distribuindo:
Na primeira soma faça
, na segunda troque índice
. Ajustando limites e usando a relação de Stiefel
, obtemos
Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
(a)
.
(b) para todo
.
(c) .
(b)
(c)