Considere n, p \in \mathbb{Z} com 0 \leq p \leq n e o número binomial definido por
\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}
onde n!=n .(n-1) \ldots 3.2 .1 e 0!=1.
(a) Demonstre a relação de Stiefel: \binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}, para n, p \geq 1.
(b) Mostre que \binom{n}{p} é um número natural, para todos n, p nas condições da definição.
(c) Mostre a fórmula do binômio de Newton por indução:
(x+a)^{n}=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p} a^{p} x^{n-p}, \quad n \in \mathbb{N} .

Passo 1

O enunciado trata de coeficientes binomiais e pede:
  • (a) provar a relação de Stiefel (às vezes chamada de identidade de Pascal)
  • (b) mostrar que \binom{n}{p}\in\mathbb{N} para 0\le p\le n
  • (c) demonstrar por indução a fórmula do binômio de Newton
    Vamos usar manipulação de fatoriais, interpretação combinatória e indução matemática.

Passo 2

Demonstração da relação de Stiefel
Usamos a definição
\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!},
para n,p\ge1. Então
\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p} =\frac{(n-1)!}{(p-1)!\,(n-p)!} +\frac{(n-1)!}{p!\,(n-1-p+1)!} =\frac{(n-1)!}{(p-1)!\,(n-p)!} +\frac{(n-1)!}{p!\,(n-p-1+1)!}.
No segundo termo note que (n-1-p+1)!=(n-p)!. Colocando o mesmo denominador p!\,(n-p)! e somando:
\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p} =\frac{(n-1)!\,p}{p!\,(n-p)!} +\frac{(n-1)!\,(n-p)}{p!\,(n-p)!} =\frac{(n-1)!\,(p+n-p)}{p!\,(n-p)!} =\frac{n!}{p!\,(n-p)!} =\binom{n}{p}.

Passo 3

Mostre \binom{n}{p}\in\mathbb{N} via indução em n
Caso base n=0: o único valor possível é p=0 e \binom{0}{0}=1\in\mathbb{N}.
Passo indutivo: suponha \binom{k}{j}\in\mathbb{N} para todo 0\le j\le k. Para n=k+1 e 1\le p\le k usamos a relação de Stiefel:
\binom{k+1}{p} =\binom{k}{p-1}+\binom{k}{p},
ambos os termos do lado direito são naturais por hipótese de indução, logo \binom{k+1}{p}\in\mathbb{N}. Também \binom{k+1}{0}=\binom{k+1}{k+1}=1. Então vale para todo 0\le p\le k+1.

Passo 4

Demonstre o binômio de Newton por indução em n
Para n=0 temos (x+a)^0=1 e \sum_{p=0}^{0}\binom{0}{p}a^p x^{0-p}=\binom{0}{0}a^0x^0=1.
Suponha que
(x+a)^k=\sum_{p=0}^{k}\binom{k}{p}a^{p}x^{\,k-p}.
Então
(x+a)^{k+1}=(x+a)\,(x+a)^k =(x+a)\sum_{p=0}^{k}\binom{k}{p}a^{p}x^{k-p}.
Distribuindo:
(x+a)^{k+1} =\sum_{p=0}^{k}\binom{k}{p}a^{p}x^{k-p+1} +\sum_{p=0}^{k}\binom{k}{p}a^{p+1}x^{k-p}.
Na primeira soma faça q=p, na segunda troque índice q=p+1. Ajustando limites e usando a relação de Stiefel \binom{k}{q}+\binom{k}{q-1}=\binom{k+1}{q}, obtemos
(x+a)^{k+1} =\sum_{q=0}^{k+1}\binom{k+1}{q}a^q x^{\,k+1-q}.
Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

(a) \displaystyle \binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}.
(b) \displaystyle \binom{n}{p}\in\mathbb{N} para todo 0\le p\le n.
(c) \displaystyle(x+a)^{n}=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{p}x^{n-p}.

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