Note que:
\begin{gathered} 2<2^{2} \\\\ 2^{2}<3^{2} \\\\ 2^{3}<4^{2} \\\\ 2^{4}<5^{2} \end{gathered}
Dedução: 2^{n}<(n+1)^{2}, para todo n \geq 1.
Se a dedução for verdadeira, então demonstre por indução. Se for falsa, explique porque.

Passo 1

O enunciado sugere a proposição
2^n < (n+1)^2,\quad \text{para todo }n\ge1,
e pede que a demonstremos por indução caso ela seja verdadeira ou que expliquemos por que é falsa.

Passo 2

Verifiquemos os primeiros valores de n:
Para n=1 temos 2^1=2 e (1+1)^2=4, logo 2<4.
Para n=2 temos 2^2=4 e (2+1)^2=9, logo 4<9.
Para n=3 temos 2^3=8 e (3+1)^2=16, logo 8<16.
Para n=4 temos 2^4=16 e (4+1)^2=25, logo 16<25.
Para n=5 temos 2^5=32 e (5+1)^2=36, logo 32<36.

Passo 3

Para n=6 obtemos 2^6=64 e (6+1)^2=49, logo
64 \not< 49,
ou seja, a desigualdade falha já em n=6.

Resposta

A dedução é falsa, pois o contraexemplo n=6 mostra que 2^6=64 não é menor que (6+1)^2=49.

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