Termine a solução do Problema 2.1, ou seja, prove a desigualdade
Passo 1
O enunciado define a sequência de Fibonacci por
e introduz a razão áurea
Queremos provar, por indução, que
para todo
.
Passo 2
Verificamos os casos iniciais:
Para
:
e
logo
e a desigualdade vale com igualdade.
Para
:
e
Como
, a desigualdade também vale para
.
Passo 3
Suponha que, para algum
, valha
Essa é a hipótese de indução.
Passo 4
Usamos a relação de recorrência para
:
Pela hipótese de indução,
Como
satisfaz
, temos
logo
Isso fecha o passo de indução, mostrando que a desigualdade vale para
.
Resposta
A desigualdade
vale para todos
por indução matemática.