Termine a solução do Problema 2.1, ou seja, prove a desigualdade
F_{n} \geq \varphi^{n-2}, \forall n \geq 2

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
F_{1}=1,\quad F_{2}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\\ (n\ge3)
e introduz a razão áurea
\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Queremos provar, por indução, que
F_{n}\ge\varphi^{\,n-2}
para todo n\ge2.

Passo 2

Verificamos os casos iniciais:
Para n=2:
F_{2}=1
e
\varphi^{2-2}=\varphi^{0}=1,
logo F_{2}=\varphi^{0} e a desigualdade vale com igualdade.
Para n=3:
F_{3}=2
e
\varphi^{3-2}=\varphi^{1}=\varphi\approx1,618.
Como 2\ge1,618, a desigualdade também vale para n=3.

Passo 3

Suponha que, para algum k\ge2, valha
F_{k}\ge\varphi^{\,k-2} \quad\text{e}\quad F_{k+1}\ge\varphi^{\,k-1}.
Essa é a hipótese de indução.

Passo 4

Usamos a relação de recorrência para F_{k+2}:
F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}.
Pela hipótese de indução,
F_{k+2}\ge \varphi^{\,k-1}+\varphi^{\,k-2} =\varphi^{\,k-2}\bigl(\varphi+1\bigr).
Como \varphi satisfaz \varphi^{2}=\varphi+1, temos
\varphi+1=\varphi^{2},
logo
F_{k+2}\ge\varphi^{\,k-2}\,\varphi^{2}=\varphi^{\,k}.
Isso fecha o passo de indução, mostrando que a desigualdade vale para n=k+2.

Resposta

A desigualdade
F_{n}\ge\varphi^{\,n-2}
vale para todos n\ge2 por indução matemática.

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