Considere em
a relação
definida por:
se existe
tal que
.
Mostre que
é uma relação de ordem (parcial) em
.
Mostre que
Passo 1
Estamos trabalhando em
com a relação
Isso é exatamente a relação “
divide
”. Para mostrar que é uma ordem parcial, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade.
Passo 2
(Reflexividade)
Uma relação é reflexiva se, para todo
, tivermos
. Aqui, basta escolher
, pois
Uma relação
logo existe
(especificamente
) tal que
. Portanto
para todo
.
Passo 3
(Antissimetria)
Mostramos que, se e
, então
. Suponha
Mostramos que, se
com
. Substituindo
na segunda igualdade:
Isso dá
. Como em
só podemos ter
, segue
. Em
o único produto que dá 1 é
e
. Logo
.
Passo 4
(Transitividade)
Uma relação é transitiva se, sempre que
e
, tivermos
. Aqui, suponha
Uma relação
com
. Então
Como
, existe um natural que multiplica
para dar
. Logo
.
Passo 5
Concluímos que
é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Portanto
é uma relação de ordem parcial em
.
Resposta
A relação
definida por “
divide
” é de fato uma ordem parcial em
.