Considere em N a relação R definida por: x R y se existe n in N tal que y=n x.
Mostre que R é uma relação de ordem (parcial) em N.

Passo 1

Estamos trabalhando em N com a relação
xRyse existe ninN tal que y = n,x
Isso é exatamente a relação “ x divide y”. Para mostrar que é uma ordem parcial, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, antissimetria e transitividade.

Passo 2

(Reflexividade)
Uma relação R é reflexiva se, para todo xinN, tivermos xRx. Aqui, basta escolher n=1, pois
x = 1cdot x,
logo existe ninN (especificamente n=1) tal que x = n,x. Portanto xRx para todo x.

Passo 3

(Antissimetria)
Mostramos que, se xRy e yRx, então x=y. Suponha
xRyimplies y = m,x, yRximplies x = n,y,
com m,ninN. Substituindo y na segunda igualdade:
x = n,(m,x) = (n,m),x
Isso dá (n,m -1),x=0. Como em N só podemos ter n,m-1=0, segue n,m=1. Em N o único produto que dá 1 é n=1 e m=1. Logo y = m,x = 1cdot x = x.

Passo 4

(Transitividade)
Uma relação R é transitiva se, sempre que xRy e yRz, tivermos xRz. Aqui, suponha
xRyimplies y = m,x, yRzimplies z = n,y,
com m,ninN. Então
z = n,y = n,(m,x) = (n,m),x
Como n,minN, existe um natural que multiplica x para dar z. Logo xRz.

Passo 5

Concluímos que R é reflexiva, antissimétrica e transitiva. Portanto R é uma relação de ordem parcial em N.

Resposta

A relação R definida por “ x divide y” é de fato uma ordem parcial em N.

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