Considere em
a relação
definida por:
se existe
tal que
.
Seja
ordenado pela relação
acima. Determine ou justifique a não existência de:
Elementos maximal e minimal de
.
Seja
Elementos maximal e minimal de
Passo 1
O enunciado define em
a relação
ou seja, é a relação “
divide
”. No conjunto
ordenado por essa relação, queremos encontrar os elementos minimal (aqueles que não têm divisor próprio em
) e maximal (aqueles que não têm múltiplo próprio em
).
Passo 2
Lembrando as definições em um poset
:
– é minimal se não existe
,
, com
.
– é maximal se não existe
,
, com
.
–
–
Passo 3
Para achar os minimal, verificamos para cada elemento de
se há um divisor próprio em
:
-
: não há nenhum tal que . Logo, é minimal. -
: não há divisor próprio em . Logo, é minimal. -
: idem, é minimal. -
: tem e em , logo não é minimal. -
: tem e , não é minimal. -
: tem e , não é minimal. -
: tem , e , não é minimal.
Portanto os minimal são
Passo 4
Para achar os maximal, verificamos para cada elemento se há um múltiplo próprio em
:
-
: tem múltiplos , não é maximal. -
: tem múltiplos , não é maximal. -
: tem múltiplos , não é maximal. -
: tem múltiplo , não é maximal. -
: não há tal que (20 não está em , 30 também não). Logo, é maximal. -
: não há múltiplo próprio em , logo é maximal. -
: idem, não há múltiplo próprio em , logo é maximal.
Portanto os maximal são
Resposta
Elementos minimal de
:
Elementos maximal de :
Elementos maximal de