Considere em N a relação R definida por: x R y se existe n in N tal que y=n x.
Seja X:=2,3,5,6,10,15,18 subseteq N ordenado pela relação R acima. Determine ou justifique a não existência de:
Elementos maximal e minimal de X.

Passo 1

O enunciado define em N a relação
xRy se e somente se exists,ninN tal que y=n,x,
ou seja, é a relação “ x divide y”. No conjunto
X = 2,3,5,6,10,15,18
ordenado por essa relação, queremos encontrar os elementos minimal (aqueles que não têm divisor próprio em X) e maximal (aqueles que não têm múltiplo próprio em X).

Passo 2

Lembrando as definições em um poset (X,R):
min X é minimal se não existe xin X, xneq m, com xRm.
Min X é maximal se não existe yin X, yneq M, com M,R,y.

Passo 3

Para achar os minimal, verificamos para cada elemento de X se há um divisor próprio em X:
  • 2: não há nenhum xin Xsetminus2 tal que xmid 2. Logo, 2 é minimal.
  • 3: não há divisor próprio em X. Logo, 3 é minimal.
  • 5: idem, é minimal.
  • 6: tem 2mid6 e 3mid6 em X, logo não é minimal.
  • 10: tem 2mid10 e 5mid10, não é minimal.
  • 15: tem 3mid15 e 5mid15, não é minimal.
  • 18: tem 2mid18, 3mid18 e 6mid18, não é minimal.
Portanto os minimal são
2,;3,;5

Passo 4

Para achar os maximal, verificamos para cada elemento se há um múltiplo próprio em X:
  • 2: tem múltiplos 6,10,18in X, não é maximal.
  • 3: tem múltiplos 6,15,18, não é maximal.
  • 5: tem múltiplos 10,15, não é maximal.
  • 6: tem múltiplo 18, não é maximal.
  • 10: não há yin Xsetminus10 tal que 10mid y (20 não está em X, 30 também não). Logo, 10 é maximal.
  • 15: não há múltiplo próprio em X, logo é maximal.
  • 18: idem, não há múltiplo próprio em X, logo é maximal.
Portanto os maximal são
10,;15,;18

Resposta

Elementos minimal de X: 2, 3, 5
Elementos maximal de X: 10, 15, 18

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