Defina e dê um exemplo:
de uma relação que é de ordem total mas não é uma boa-ordem.

Passo 1

O enunciado pede para a gente dar a definição de uma relação que seja de ordem total, mas que não seja uma boa-ordem, e depois apresentar um exemplo concreto. O conteúdo envolve teoria de relações de ordem: ordem total e boa-ordem.

Passo 2

Definimos uma relação preceq em um conjunto X como ordem total se satisfaz três propriedades e, além disso, compara quaisquer dois elementos:
  1. Reflexividade: para todo xin X, xpreceq x.
  2. Antissimetria: se xpreceq y e ypreceq x, então x=y.
  3. Transitividade: se xpreceq y e ypreceq z, então xpreceq z.
  4. Totalidade (ou comparabilidade): para quaisquer x,yin X, ou xpreceq y ou ypreceq x.

Passo 3

Uma ordem total preceq em X é chamada de boa-ordem se, além de ser total, todo subconjunto não vazio Asubseteq X tem um menor elemento segundo preceq; isto é, existe min A tal que, para todo ain A, mpreceq a.

Passo 4

Considere o conjunto dos inteiros Z com a relação usual de ordem <=.
  • É ordem total porque para quaisquer m,ninZ, ou m<= n ou n<= m, e <= é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
  • Não é boa-ordem porque, por exemplo, o subconjunto dos inteiros negativos
A = dots,-3,-2,-1
é não vazio, mas não possui menor elemento: dado qualquer -kin A, existe sempre -(k+1)in A com -(k+1)<-k.

Resposta

Um exemplo de relação que é de ordem total mas não é boa-ordem é
(Z,<=)

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