Defina e dê um exemplo:
de uma relação que é de ordem total mas não é uma boa-ordem.
de uma relação que é de ordem total mas não é uma boa-ordem.
Passo 1
O enunciado pede para a gente dar a definição de uma relação que seja de ordem total, mas que não seja uma boa-ordem, e depois apresentar um exemplo concreto. O conteúdo envolve teoria de relações de ordem: ordem total e boa-ordem.
Passo 2
Definimos uma relação
em um conjunto
como ordem total se satisfaz três propriedades e, além disso, compara quaisquer dois elementos:
- Reflexividade: para todo
, . - Antissimetria: se
e , então . - Transitividade: se
e , então . - Totalidade (ou comparabilidade): para quaisquer
, ou ou .
Passo 3
Uma ordem total
em
é chamada de boa-ordem se, além de ser total, todo subconjunto não vazio
tem um menor elemento segundo
; isto é, existe
tal que, para todo
,
.
Passo 4
Considere o conjunto dos inteiros
com a relação usual de ordem
.
- É ordem total porque para quaisquer
, ou ou , e é reflexiva, antissimétrica e transitiva. - Não é boa-ordem porque, por exemplo, o subconjunto dos inteiros negativos
é não vazio, mas não possui menor elemento: dado qualquer
, existe sempre
com
.
Resposta
Um exemplo de relação que é de ordem total mas não é boa-ordem é