Suponha que você esteja trabalhando em um instituto que realiza pesquisas eleitorais, e que sua ocupação atual seja descobrir o tamanho amostral n adequado para uma pesquisa eleitoral genérica.
Como a priori você não sabe nada sobre os candidatos, você assume que a probabilidade dos eleitores votarem ou não (suponha também que essas sejam as únicas opções) em qualquer um dos candidatos seja igual a 50 \%. Assumindo que os n eleitores sejam independentes, isso implica então que X_{i} \sim iid \operatorname{Bernoulli}(0,50), de onde vem que \mathbb{E}\left(X_{i}\right)=0,50 e \operatorname{var}\left(X_{i}\right)=0,50 \cdot(1-0,50)=0,25, i=1, \ldots, n.
Sob essas hipóteses, calcule então o menor tamanho amostral n necessário para que aceitemos uma diferença de até 2 \% na proporção de eleitores \hat{p}
que votam em um certo candidato ao nível \alpha=5 \% de significância, isto é, calcule n tal que a Região de Aceitação de um teste com H_{0}: p=p_{0} seja R A=\left\{\hat{p}: p_{0}-0,02 \leq \hat{p} \leq p_{0}+0,02\right\} para qualquer (p_{0} \in[0,1]].
)
{ }^{2} Talvez a vida de um estudante de graduação não fosse tão fácil quanto tenhamos assumido a princípio. { }^{3} Pode ser as férias, ou talvez você já tenha trancado as matérias dadas por professores pouco razoáveis e resolveu caprichar em Estatística para não perder vida no NSG.
Passo 1
O enunciado pede o menor n tal que, para qualquer p_{0}, a proporção amostral \hat p satisfaça
P\bigl(p_{0}-0,02 \le \hat p \le p_{0}+0,02\bigr)=0,95
ao nível de significância \alpha=0,05. Como não sabemos p_{0}, usamos a máxima variância de uma Bernoulli, que ocorre em p_{0}=0,5. Vamos usar a aproximação normal da distribuição de \hat p.
Passo 2
Pela CLT, sob H_{0}:p=p_{0} temos
\hat p \approx N\!\bigl(p_{0},\,\tfrac{p_{0}(1-p_{0})}{n}\bigr).
Queremos
P\Bigl(\bigl|\hat p - p_{0}\bigr|\le 0,02\Bigr)=0,95
que, em termos do quantil da normal padrão, equivale a