Um criador de cães suspeita que sua mais famosa matriz da raça Golden Retriever possui uma leve predisposição para gerar mais filhotes do sexo masculino, e coletou alguns dados sobre os seus 4 últimos partos para investigar essa hipótese. Dos n=20 filhotes nascidos, o criador constatou que 12 eram machos e 8 eram fêmeas.
a. Calcule a proporção amostral \hat{p} de filhotes machos.
b. Calcule a estatística de teste Z_{\text {obs }} assumindo um valor de referência para a proporção populacional de p_{0}=0,50.
c. Assumindo um nível de \alpha=5 \% de significância, teste a hipótese de
que a proporção de filhotes machos p é realmente maior do que a de fêmeas, isto é, teste H_{0}: p=0,50 contra H_{1}: p \neq 0,50 e interprete os resultados (Dica: pode utilizar que Z_{1-\alpha / 2}=Z_{0,975}=1,96 \simeq 2,00 ).
d. Calcule o p-valor \hat{\alpha} do teste feito no item anterior. Sua conclusão com respeito à aceitar/rejeitar H_{0} continua a mesma? Comente.
e. Com base nos seus resultados, você diria que existe evidência para suportar a hipótese inicial do dono, isto é, que a proporção populacional p de machos é estatisticamente diferente de p_{0}=0,50 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado traz um experimento com n=20 filhotes de Golden Retriever, dos quais 12 são machos. Queremos testar se a proporção populacional de machos p difere de p_0=0,50. Vamos:
  1. Calcular a proporção amostral \hat{p}.
  2. Formular o teste de hipótese para proporções usando aproximação normal.
  3. Obter a estatística de teste Z_{\rm obs}.
  4. Aplicar critério de decisão para \alpha=5\%.
  5. Calcular o p-valor e revisar a decisão.
  6. Concluir se há evidência de diferença em relação a p_0.

Passo 2

A proporção amostral de machos é
\hat{p} = \frac{\text{número de machos}}{n} = \frac{12}{20} = 0,6.ú

Passo 3

Para usar a aproximação normal às proporções, verificamos que
n p_0 = 20 \cdot 0,5 = 10 \quad\text{e}\quad n(1-p_0)=20\cdot0,5=10,
ambos maiores que 5. A estatística de teste é
Z_{\rm obs} = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} = \frac{0,6 - 0,5}{\sqrt{0,5\cdot0,5/20}} = \frac{0,1}{\sqrt{0,25/20}} = \frac{0,1}{\sqrt{0,0125}} \approx 0,89.

Passo 4

É um teste bilateral com nível \alpha=5\%. O valor crítico é
Z_{1-\alpha/2} = Z_{0,975} \approx 1{,}96.
Rejeitamos H_0 se |Z_{\rm obs}| > 1{,}96. Como |0,89| < 1,96, falta evidência e não rejeitamos H_0.

Passo 5

O p-valor é
p\text{-valor} = 2\bigl[1 - \Phi\bigl(|Z_{\rm obs}|\bigr)\bigr] = 2\bigl[1 - \Phi(0,89)\bigr] \approx 2\,(1 - 0,8159) \approx 0,37.
Como p\text{-valor}\approx0,37 > 0,05, confirmamos a decisão de não rejeitar H_0.

Passo 6

Não há evidência estatística suficiente para afirmar que a proporção de filhotes machos difere de 0,50. Portanto, não se confirma a suspeita de predisposição para machos.

Resposta

a) \hat{p}=0,6
b) Z_{\rm obs}\approx0,89
c) Nível \alpha=5\%, teste bilateral, |0,89|<1{,}96, não rejeita H_0
d) p\text{-valor}\approx0,37, conclusão inalterada (não rejeitar H_0)
e) Não há evidência para suportar que p\neq0,50; a amostra não difere estatisticamente de 0,50.

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