Demonstre que:
a) \eta=\frac{1}{c_{v}}\left[-T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{v}+P\right]=\frac{1}{c_{v}}\left(-\frac{\beta T}{\kappa}+P\right)
b) \mu=\frac{1}{c_{P}}\left[T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}-v\right]=\frac{v}{c_{P}}(\beta T-1)
16) A equação de um certo gás é: (P+b) v=R T; onde P é a pressão do gás, v é o volume molar do gás, R é a constante universal dos gases, T é a temperatura e b é uma constante característica do gás.
a) Ache c_{P}-c_{v}
b) Ache a variação da entropia em um processo isotérmico.
c) Mostre que c_{v} é independente de v.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, demonstrar as identidades termodinâmicas
onde c_{v}, c_{P}, \beta (coeficiente de expansão térmica) e \kappa (compressibilidade isotérmica) são os parâmetros termodinâmicos usuais.
Depois, para o gás de estado (P+b)\,v=R\,T, determinar
a) c_{P}-c_{v}
b) a variação de entropia num processo isotérmico
c) mostrar que c_{v} não depende de v.
Os conteúdos que usaremos são: difusão de u=u(T,v), identidades de Maxwell e definições de \beta e \kappa.
Passo 2
Derivamos a expressão geral para \eta=(\partial T/\partial v)_{u}.
Como u=u(T,v), temos
Mas P=(R/v)\,T-b é linear em T, logo \partial^{2}P/\partial T^{2}=0. Assim \partial c_{v}/\partial v=0, isto é, c_{v} independe de v.
Resposta
a) \eta=\dfrac{1}{c_{v}}\bigl[-T(\partial P/\partial T)_{v}+P\bigr]=\dfrac{1}{c_{v}}\bigl(-\tfrac{\beta T}{\kappa}+P\bigr)
b) \mu=\dfrac{1}{c_{P}}\bigl[T(\partial v/\partial T)_{P}-v\bigr]=\dfrac{v}{c_{P}}(\beta T-1)
16a) c_{P}-c_{v}=R
16b) \Delta s=R\ln\frac{v_{2}}{v_{1}} (isotérmico)
16c) c_{v} é função só de T, logo independe de v.