Determine a solução geral de
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Este é um caso de ODE não homogênea onde usaremos dois ingredientes:
- Resolver a equação homogênea associada por meio da equação característica.
- Encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, supondo trial da forma
.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
A equação característica é
Resolvendo-a,
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, propomos
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Agrupando termos em
e
:
Isso deve igualar
, ou seja, o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema: da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular: