Determine a solução geral de y^prime prime+4 y^prime+13 y=cos t.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 13y = cos t
Este é um caso de ODE não homogênea onde usaremos dois ingredientes:
  1. Resolver a equação homogênea associada por meio da equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, supondo trial da forma Acos t + Bsin t.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
yh'' + 4yh' + 13yh = 0
A equação característica é
r^2 + 4r + 13 = 0
Resolvendo-a,
r = -4 pm raiz4^2 -4cdot1cdot132 = -2 pm 3i
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = e^-2tl(C1cos(3t) + C2sin(3t)r)

Passo 3

Para a solução particular, propomos
yp(t) = Acos t + Bsin t
Calculamos as derivadas:
yp'(t) = -Asin t + Bcos t,
yp''(t) = -Acos t - Bsin t
Substituindo em y''+4y'+13y obtemos
(-Acos t - Bsin t) +4(-Asin t + Bcos t) +13(Acos t + Bsin t)
Agrupando termos em cos t e sin t:
l(12A + 4Br)cos t + l(-4A + 12Br)sin t
Isso deve igualar cos t, ou seja, o sistema
12A + 4B = 1, -4A + 12B = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema: da segunda equação vem
12B = 4A Rightarrow B = tfracA3
Substituindo na primeira:
12A + 4l(tfracA3r) = 1 Rightarrow 12A + tfrac4A3 = tfrac40A3 = 1 Rightarrow A = tfrac340,
B = tfracA3 = tfrac140
Logo
yp(t) = 340cos t + 140sin t

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-2tl(C1cos(3t) + C2sin(3t)r) + 340cos t + 140sin t

Resposta

y(t) = e^-2tl(C1cos(3t) + C2sin(3t)r) + 340cos t + 140sin t

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