Considere os números: 49,71 e 180 . Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), que tenham cada um desses números como resultados.
a) Primeiro, dê exemplos de operações envolvendo apenas números naturais.
b) Agora, use números inteiros ou racionais.

Passo 1

O enunciado pede que eu construa operações de adição, subtração, multiplicação e divisão cujo resultado seja cada um dos números 49, 71 e 180. São duas partes:
a) usar apenas números naturais;
b) usar números inteiros ou racionais (ou seja, posso usar negativos ou frações/razões).
Informações dadas: os três números alvo são 49, 71 e 180. Não foram dadas restrições adicionais além das pedidas nas partes (a) e (b).

Passo 2

Vou explicar rapidamente o que cada tipo de número significa (para você se sentir seguro ao escolher os termos) e a estratégia para construir exemplos.
Definições (curtas e práticas):
  • Números naturais: \mathbb{N}. Aqui uso como exemplo os inteiros não negativos 0,1,2,3,\dots. Em muitas provas aceitam isso. Para a parte (a) vou usar números positivos simples.
  • Números inteiros: \mathbb{Z}. Incluem os naturais e os negativos, por exemplo -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots.
  • Números racionais: \mathbb{Q}. Números que podem ser escritos como fração \frac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z} e q\neq0. Ex.: \frac{1}{2},\frac{355}{5},-7.
Estratégia para cada operação:
  • Adição: escolho dois naturais que somem ao alvo.
  • Subtração: escolho um minuendo maior (ou igual) e subtraio um subtrahendo para obter o alvo.
  • Multiplicação: escrevo o alvo como produto de dois naturais (se possível). Se o alvo for primo (ex.: 71), o único jeito com naturais >1 não existe — aí uso \text{alvo}\times 1.
  • Divisão: escrevo um dividendo e um divisor naturais tal que o quociente seja o alvo (ou use \text{alvo}\div 1). Para a parte (b) posso usar negativos ou frações para variar.
Agora aplico isso concretamente a cada número.

Passo 3

Construção para 49 usando apenas naturais (parte a). Vou dar quatro exemplos, um para cada operação, mostrando a conta passo a passo.
  • Adição: escolho 30 e 19. Calculo:
30+19=49.
Explicação rápida: somei duas parcelas naturais cujo total é 49.
  • Subtração: escolho 70 como minuendo e 21 como subtraendo. Calculo:
70-21=49.
Explicação: 70 menos 21 deixa 49.
  • Multiplicação: 49 é 7 vezes 7. Calculo:
7\cdot 7=49.
Explicação: fatorização direta; 49 tem fatores naturais 7 e 7.
  • Divisão: escolho 98 dividido por 2. Calculo:
98\div 2=49.
Explicação: 98 é o dobro de 49, logo dividido por 2 49.

Passo 4

Construção para 71 usando apenas naturais (parte a). Note que 71 é um número primo, então tem poucas opções de multiplicação entre naturais maiores que 1; veremos isso.
  • Adição: escolho 50 e 21. Calculo:
50+21=71.
  • Subtração: escolho 100 e 29. Calculo:
100-29=71.
  • Multiplicação: como 71 é primo, não existe produto de dois naturais ambos maiores que 1 que dê 71. A opção válida com naturais é multiplicar por 1:
71\cdot 1=71.
(usar 1 é perfeitamente permitido entre os naturais).
  • Divisão: uso 142\div 2. Calculo:
142\div 2=71.
Explicação: 142 é o dobro de 71.

Passo 5

Construção para 180 usando apenas naturais (parte a). 180 tem muitos divisores, então posso escolher exemplos simples.
  • Adição: escolho 100 e 80. Calculo:
100+80=180.
  • Subtração: escolho 200 e 20. Calculo:
200-20=180.
  • Multiplicação: escolho fatores conhecidos 12 e 15. Calculo:
12\cdot 15=180.
Explicação: 12\times 10=120 e 12\times 5=60; somando dá 180.
  • Divisão: escolho 360\div 2. Calculo:
360\div 2=180.

Passo 6

Agora parte (b): uso inteiros e/ou racionais. Vou explicar técnicas úteis:
  • Podemos usar negativos: produto de dois negativos dá positivo (por exemplo (-7)\cdot(-7)=49).
  • Podemos criar qualquer inteiro alvo somando um negativo com um maior positivo (ex.: (-30)+79=49).
  • Para divisão, podemos usar frações com numerador e denominador inteiros que dão exatamente o alvo (ex.: \frac{355}{5}=71).
  • Multiplicar por -1 ou dividir por -1 muda sinal; dividir dois números negativos pode recuperar um positivo.
Usarei essas técnicas para criar exemplos variados.

Passo 7

Exemplos para 49 usando inteiros/racionais (parte b), com cálculo e explicação.
  • Adição (com inteiro negativo): escolho -30 e 79. Calculo:
-30+79=49.
Explicação: somando um negativo e um positivo maior resulta em 49.
  • Subtração (uso zero e negativo): escolho 0-(-49). Calculo:
0-(-49)=49.
Explicação: subtrair um negativo equivale a somar seu oposto.
  • Multiplicação (dois inteiros negativos): escolho (-7) e (-7). Calculo:
(-7)\cdot(-7)=49.
Explicação: produto de dois números negativos é positivo; 7\cdot7=49.
  • Divisão (com racional que é inteiro no valor): escolho \dfrac{245}{5}. Calculo:
\frac{245}{5}=49.
Explicação: 245 dividido por 5 49.

Passo 8

Exemplos para 71 usando inteiros/racionais (parte b), com cálculo e observações.
  • Adição (com inteiro negativo): escolho -30 e 101. Calculo:
-30+101=71.
  • Subtração (usar zero): escolho 0-(-71). Calculo:
0-(-71)=71.
  • Multiplicação (dois inteiros, um deles -1): como 71 é primo, posso usar (-71)\cdot(-1). Calculo:
(-71)\cdot(-1)=71.
Explicação: produto de dois negativos é positivo; multiplicar por -1 muda sinal.
  • Divisão (racional com numerador maior): escolho \dfrac{355}{5}. Calculo:
\frac{355}{5}=71.
Explicação: 355 dividido por 5 vale 71.

Passo 9

Exemplos para 180 usando inteiros/racionais (parte b), com cálculo e explicações.
  • Adição (com inteiro negativo): escolho -20 e 200. Calculo:
-20+200=180.
  • Subtração (usar zero e negativo): escolho 0-(-180). Calculo:
0-(-180)=180.
  • Multiplicação (dois inteiros negativos): escolho (-12) e (-15). Calculo:
(-12)\cdot(-15)=180.
Explicação: 12\cdot15=180 e o produto de dois negativos é positivo.
  • Divisão (racional): escolho \dfrac{540}{3}. Calculo:
\frac{540}{3}=180.
Explicação: 540 dividido por 3 é 180.

Resposta

a) 49: 30+19=49; 70-21=49; 7\cdot7=49; 98\div 2=49.
a) 71: 50+21=71; 100-29=71; 71\cdot1=71; 142\div 2=71.
a) 180: 100+80=180; 200-20=180; 12\cdot15=180; 360\div 2=180.
b) 49: -30+79=49; 0-(-49)=49; (-7)\cdot(-7)=49; \dfrac{245}{5}=49.
b) 71: -30+101=71; 0-(-71)=71; (-71)\cdot(-1)=71; \dfrac{355}{5}=71.
b) 180: -20+200=180; 0-(-180)=180; (-12)\cdot(-15)=180; \dfrac{540}{3}=180.

Exercícios relacionados