Considere os números: 49,71 e 180 . Com a ajuda da calculadora, construa exemplos de operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), que tenham cada um desses números como resultados.
a) Primeiro, dê exemplos de operações envolvendo apenas números naturais.
b) Agora, use números inteiros ou racionais.
a) Primeiro, dê exemplos de operações envolvendo apenas números naturais.
b) Agora, use números inteiros ou racionais.
Passo 1
O enunciado pede que eu construa operações de adição, subtração, multiplicação e divisão cujo resultado seja cada um dos números
,
e
. São duas partes:
a) usar apenas números naturais;
b) usar números inteiros ou racionais (ou seja, posso usar negativos ou frações/razões).
Informações dadas: os três números alvo são ,
e
. Não foram dadas restrições adicionais além das pedidas nas partes (a) e (b).
a) usar apenas números naturais;
b) usar números inteiros ou racionais (ou seja, posso usar negativos ou frações/razões).
Informações dadas: os três números alvo são
Passo 2
Vou explicar rapidamente o que cada tipo de número significa (para você se sentir seguro ao escolher os termos) e a estratégia para construir exemplos.
Definições (curtas e práticas):
- Números naturais:
. Aqui uso como exemplo os inteiros não negativos . Em muitas provas aceitam isso. Para a parte (a) vou usar números positivos simples. - Números inteiros:
. Incluem os naturais e os negativos, por exemplo . - Números racionais:
. Números que podem ser escritos como fração com e . Ex.: .
Estratégia para cada operação:
- Adição: escolho dois naturais que somem ao alvo.
- Subtração: escolho um minuendo maior (ou igual) e subtraio um subtrahendo para obter o alvo.
- Multiplicação: escrevo o alvo como produto de dois naturais (se possível). Se o alvo for primo (ex.:
), o único jeito com naturais não existe — aí uso . - Divisão: escrevo um dividendo e um divisor naturais tal que o quociente seja o alvo (ou use
). Para a parte (b) posso usar negativos ou frações para variar.
Agora aplico isso concretamente a cada número.
Passo 3
Construção para
usando apenas naturais (parte a). Vou dar quatro exemplos, um para cada operação, mostrando a conta passo a passo.
- Adição: escolho
e . Calculo:
Explicação rápida: somei duas parcelas naturais cujo total é
.
- Subtração: escolho
como minuendo e como subtraendo. Calculo:
Explicação:
menos
deixa
.
- Multiplicação:
é vezes . Calculo:
Explicação: fatorização direta;
tem fatores naturais
e
.
- Divisão: escolho
dividido por . Calculo:
Explicação:
é o dobro de
, logo dividido por
dá
.
Passo 4
Construção para
usando apenas naturais (parte a). Note que
é um número primo, então tem poucas opções de multiplicação entre naturais maiores que
; veremos isso.
- Adição: escolho
e . Calculo:
- Subtração: escolho
e . Calculo:
- Multiplicação: como
é primo, não existe produto de dois naturais ambos maiores que que dê . A opção válida com naturais é multiplicar por :
(usar
é perfeitamente permitido entre os naturais).
- Divisão: uso
. Calculo:
Explicação:
é o dobro de
.
Passo 5
Construção para
usando apenas naturais (parte a).
tem muitos divisores, então posso escolher exemplos simples.
- Adição: escolho
e . Calculo:
- Subtração: escolho
e . Calculo:
- Multiplicação: escolho fatores conhecidos
e . Calculo:
Explicação:
e
; somando dá
.
- Divisão: escolho
. Calculo:
Passo 6
Agora parte (b): uso inteiros e/ou racionais. Vou explicar técnicas úteis:
- Podemos usar negativos: produto de dois negativos dá positivo (por exemplo
). - Podemos criar qualquer inteiro alvo somando um negativo com um maior positivo (ex.:
). - Para divisão, podemos usar frações com numerador e denominador inteiros que dão exatamente o alvo (ex.:
). - Multiplicar por
ou dividir por muda sinal; dividir dois números negativos pode recuperar um positivo.
Usarei essas técnicas para criar exemplos variados.
Passo 7
Exemplos para
usando inteiros/racionais (parte b), com cálculo e explicação.
- Adição (com inteiro negativo): escolho
e . Calculo:
Explicação: somando um negativo e um positivo maior resulta em
.
- Subtração (uso zero e negativo): escolho
. Calculo:
Explicação: subtrair um negativo equivale a somar seu oposto.
- Multiplicação (dois inteiros negativos): escolho
e . Calculo:
Explicação: produto de dois números negativos é positivo;
.
- Divisão (com racional que é inteiro no valor): escolho
. Calculo:
Explicação:
dividido por
dá
.
Passo 8
Exemplos para
usando inteiros/racionais (parte b), com cálculo e observações.
- Adição (com inteiro negativo): escolho
e . Calculo:
- Subtração (usar zero): escolho
. Calculo:
- Multiplicação (dois inteiros, um deles
): como é primo, posso usar . Calculo:
Explicação: produto de dois negativos é positivo; multiplicar por
muda sinal.
- Divisão (racional com numerador maior): escolho
. Calculo:
Explicação:
dividido por
vale
.
Passo 9
Exemplos para
usando inteiros/racionais (parte b), com cálculo e explicações.
- Adição (com inteiro negativo): escolho
e . Calculo:
- Subtração (usar zero e negativo): escolho
. Calculo:
- Multiplicação (dois inteiros negativos): escolho
e . Calculo:
Explicação:
e o produto de dois negativos é positivo.
- Divisão (racional): escolho
. Calculo:
Explicação:
dividido por
é
.
Resposta
a) 49:
;
;
;
.
a) 71: ;
;
;
.
a) 180: ;
;
;
.
a) 71:
a) 180:
b) 49:
;
;
;
.
b) 71: ;
;
;
.
b) 180: ;
;
;
.
b) 71:
b) 180: