Suponha que você queira fazer uma conta envolvendo números grandes, como por exemplo:
. É bem provável que use uma calculadora para obter o resultado. Como se tratam de números com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, não é impossível enganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado.
a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado: 989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique sua resposta.
b) Constatando que o resultado anterior não estava correto, você apaga e digita novamente os dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar certo? Justifique sua resposta.
c) Quantos algarismos você espera que o resultado tenha?
d) Qual deve ser o último algarismo do resultado?
e) Você seria capaz de descobrir que erros você cometeu nos itens (a) e (b)?
a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado: 989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique sua resposta.
b) Constatando que o resultado anterior não estava correto, você apaga e digita novamente os dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar certo? Justifique sua resposta.
c) Quantos algarismos você espera que o resultado tenha?
d) Qual deve ser o último algarismo do resultado?
e) Você seria capaz de descobrir que erros você cometeu nos itens (a) e (b)?
Passo 1
O enunciado dá dois números que foram multiplicados:
e
. Foram obtidos dois resultados do visor da calculadora e pergunta-se se cada um pode estar certo, além de perguntas sobre o tamanho e o último dígito do resultado e se conseguimos identificar os erros. Perguntas a responder:
a) O resultado mostrado pode estar certo? Justifique.
b) O resultado mostrado pode estar certo? Justifique.
c) Quantos algarismos esperamos que o resultado tenha?
d) Qual deve ser o último algarismo do resultado?
e) É possível descobrir que erros foram cometidos em (a) e (b)?
Informações relevantes dadas: os dois fatores originais são e
. Nada mais foi fornecido.
a) O resultado mostrado
b) O resultado mostrado
c) Quantos algarismos esperamos que o resultado tenha?
d) Qual deve ser o último algarismo do resultado?
e) É possível descobrir que erros foram cometidos em (a) e (b)?
Informações relevantes dadas: os dois fatores originais são
Passo 2
Como primeira ferramenta didática: como estimar quantos dígitos tem o produto sem calcular tudo?
Regra prática (fácil de aplicar na prova): se um número tem dígitos e outro tem
dígitos, o produto tem ou
ou
dígitos. Por quê? Porque um número com
dígitos está entre
e
. Se
e
, então
. O limite inferior é
e o superior é menor que
, logo o número de dígitos é
ou
. Aplicando isso aos nossos números:
tem
dígitos e
tem
dígitos, então o produto tem
ou
dígitos.
Regra prática (fácil de aplicar na prova): se um número tem
Passo 3
Refinando a estimativa para decidir entre
ou
dígitos: use limites mais precisos do segundo fator.
Observamos que . Multiplicando por
:
Observamos que
Logo o produto real
está no intervalo
Ambos os limites são números com
dígitos, logo o produto tem obrigatoriamente
dígitos. Assim respondemos a pergunta (c): o produto tem
dígitos.
Passo 4
Regra didática para o último algarismo (útil na prova): o último dígito do produto depende somente dos últimos dígitos dos fatores. Em outras palavras, fazemos a multiplicação módulo
. Os últimos dígitos são
(de
) e
(de
). Calculamos
então o último dígito do produto é
. Isso responde a pergunta (d): o último dígito é
.
Passo 5
Agora vamos calcular o produto exato passo a passo (método prático para prova: separar um fator em soma de partes fáceis). Escrevo
Então
Calculemos cada parcela:
-
. Primeiro :
Multiplicando por
(acrescentando quatro zeros):
- Agora
. Escrevo e multiplico cada parte:
Agora somo essas três parcelas:
Portanto
Somando com a parcela grande:
Conferência rápida: o resultado termina em
(concorda com Passo 4) e tem
dígitos (concorda com Passo 3). Então o produto exato é
Passo 6
Análise do item (a): o visor mostrou
. Compare isso com os fatos que estabelecemos:
- Pela contagem de dígitos o produto deve ter
dígitos; tem apenas dígitos. Logo é impossível que esteja certo. Outra justificativa pela desigualdade: (o nosso menor limite), portanto não pode ser o produto. Observação: o último dígito de é , o mesmo que o produto verdadeiro, mas isso não garante que o número seja correto — coincidência do último dígito pode enganar.
Passo 7
Análise do item (b): o visor mostrou
. Esse número tem
dígitos, então a contagem de dígitos não elimina a possibilidade. Mas compare com o produto exato que encontramos:
A diferença entre o valor mostrado e o valor correto é
Note algo importante: essa diferença é exatamente
, ou seja, exatamente menos o segundo fator. Isso sugere uma origem natural do erro: se em vez de ter multiplicado
por
a pessoa digitou
(um a menos), então o produto seria menor em exatamente
(porque diminuir um em um fator diminui o produto em exatamente o outro fator). Vamos verificar:
que coincide com o número mostrado. Portanto o resultado mostrado em (b) não pode estar certo para os fatores originais; o erro provável (identificável) é que foi digitado
em vez de
.
Passo 8
Sobre a identificação dos erros (pergunta e):
- Para (b) sim: conseguimos descobrir concretamente o erro — foi digitado o multiplicando
(um a menos) em vez de . A dedução veio da diferença exata igual ao outro fator. - Para (a) não de forma única: sabemos com certeza que
não pode ser o produto (pois falta magnitude/dígitos), mas existem muitas maneiras de digitar errado que gerariam esse número (falta de algarismos, fatores trocados, etc.). Não há informação suficiente para reconstruir unicamente qual foi o erro de digitação que gerou exatamente ; só podemos afirmar que o visor está errado.
Resposta
a) Não.
não pode estar certo (o produto tem
dígitos;
tem
).
b) Não. não é correto; produto correto é
. Erro provável: digitado
em vez de
.
c) dígitos.
d) Último algarismo: .
e) Para (b) sim — foi digitado em vez de
. Para (a) não de forma única — sabemos que está impossível, mas não há dados suficientes para identificar exatamente qual erro de digitação produziu aquele número.
b) Não.
c)
d) Último algarismo:
e) Para (b) sim — foi digitado