Suponha que você queira fazer uma conta envolvendo números grandes, como por exemplo: 987123 \times 110357. É bem provável que use uma calculadora para obter o resultado. Como se tratam de números com muitos algarismos, mesmo com uma calculadora, não é impossível enganar-se ao digitar algum algarismo e obter um resultado errado.
a) Suponha que depois de digitar os dados, tenha aparecido no visor o seguinte resultado: 989455911. Este resultado pode estar certo? Justifique sua resposta.
b) Constatando que o resultado anterior não estava correto, você apaga e digita novamente os dados. Desta vez o visor mostra o seguinte: 108935822554. E este resultado, pode estar certo? Justifique sua resposta.
c) Quantos algarismos você espera que o resultado tenha?
d) Qual deve ser o último algarismo do resultado?
e) Você seria capaz de descobrir que erros você cometeu nos itens (a) e (b)?

Passo 1

O enunciado dá dois números que foram multiplicados: \,987123 e \,110357. Foram obtidos dois resultados do visor da calculadora e pergunta-se se cada um pode estar certo, além de perguntas sobre o tamanho e o último dígito do resultado e se conseguimos identificar os erros. Perguntas a responder:
a) O resultado mostrado \,989455911 pode estar certo? Justifique.
b) O resultado mostrado \,108935822554 pode estar certo? Justifique.
c) Quantos algarismos esperamos que o resultado tenha?
d) Qual deve ser o último algarismo do resultado?
e) É possível descobrir que erros foram cometidos em (a) e (b)?
Informações relevantes dadas: os dois fatores originais são \,987123 e \,110357. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Como primeira ferramenta didática: como estimar quantos dígitos tem o produto sem calcular tudo?
Regra prática (fácil de aplicar na prova): se um número tem m dígitos e outro tem n dígitos, o produto tem ou m+n-1 ou m+n dígitos. Por quê? Porque um número com m dígitos está entre 10^{m-1} e 10^{m}-1. Se A\in[10^{m-1},10^m-1] e B\in[10^{n-1},10^n-1], então AB\in[10^{m-1}10^{n-1},(10^m-1)(10^n-1)]. O limite inferior é 10^{m+n-2} e o superior é menor que 10^{m+n}, logo o número de dígitos é m+n-1 ou m+n. Aplicando isso aos nossos números: \,987123 tem 6 dígitos e \,110357 tem 6 dígitos, então o produto tem 11 ou 12 dígitos.

Passo 3

Refinando a estimativa para decidir entre 11 ou 12 dígitos: use limites mais precisos do segundo fator.
Observamos que \,110000 \le 110357 < 111000. Multiplicando por \,987123:
987123\cdot 110000 = 108583530000.
987123\cdot 111000 = 109570653000.
Logo o produto real 987123\cdot 110357 está no intervalo
[108583530000,\;109570653000).
Ambos os limites são números com 12 dígitos, logo o produto tem obrigatoriamente 12 dígitos. Assim respondemos a pergunta (c): o produto tem \,12 dígitos.

Passo 4

Regra didática para o último algarismo (útil na prova): o último dígito do produto depende somente dos últimos dígitos dos fatores. Em outras palavras, fazemos a multiplicação módulo 10. Os últimos dígitos são \,3 (de \,987123) e \,7 (de \,110357). Calculamos
3\times 7 = 21,
então o último dígito do produto é \,1. Isso responde a pergunta (d): o último dígito é \,1.

Passo 5

Agora vamos calcular o produto exato passo a passo (método prático para prova: separar um fator em soma de partes fáceis). Escrevo
110357 = 110000 + 357.
Então
987123\cdot 110357 = 987123\cdot 110000 + 987123\cdot 357.
Calculemos cada parcela:
  1. \,987123\cdot 110000 = 987123\cdot 11 \cdot 10000. Primeiro \,987123\cdot 11:
987123\cdot 11 = 987123\cdot(10+1)=9871230+987123=10858353.
Multiplicando por 10000 (acrescentando quatro zeros):
987123\cdot 110000 = 108583530000.
  1. Agora \,987123\cdot 357. Escrevo 357=300+50+7 e multiplico cada parte:
987123\cdot 300 = 987123\cdot 3 \cdot 100 = 2961369\cdot 100 = 296136900.
987123\cdot 50 = 987123\cdot 5 \cdot 10 = 4935615\cdot 10 = 49356150.
987123\cdot 7 = 6909861.
Agora somo essas três parcelas:
296136900 + 49356150 = 345493050,
345493050 + 6909861 = 352402911.
Portanto
987123\cdot 357 = 352402911.
Somando com a parcela grande:
108583530000 + 352402911 = 108935932911.
Conferência rápida: o resultado termina em \,1 (concorda com Passo 4) e tem 12 dígitos (concorda com Passo 3). Então o produto exato é
987123\cdot 110357 = 108935932911.

Passo 6

Análise do item (a): o visor mostrou \,989455911. Compare isso com os fatos que estabelecemos:
  • Pela contagem de dígitos o produto deve ter \,12 dígitos; \,989455911 tem apenas \,9 dígitos. Logo é impossível que esteja certo. Outra justificativa pela desigualdade: \,989455911 < 108583530000 (o nosso menor limite), portanto não pode ser o produto. Observação: o último dígito de \,989455911 é \,1, o mesmo que o produto verdadeiro, mas isso não garante que o número seja correto — coincidência do último dígito pode enganar.

Passo 7

Análise do item (b): o visor mostrou \,108935822554. Esse número tem \,12 dígitos, então a contagem de dígitos não elimina a possibilidade. Mas compare com o produto exato que encontramos:
\text{produto correto} = 108935932911.
A diferença entre o valor mostrado e o valor correto é
108935822554 - 108935932911 = -110357.
Note algo importante: essa diferença é exatamente -110357, ou seja, exatamente menos o segundo fator. Isso sugere uma origem natural do erro: se em vez de ter multiplicado \,987123 por \,110357 a pessoa digitou \,987122 (um a menos), então o produto seria menor em exatamente \,110357 (porque diminuir um em um fator diminui o produto em exatamente o outro fator). Vamos verificar:
987122\cdot 110357 = 987123\cdot 110357 - 110357 = 108935932911 - 110357 = 108935822554,
que coincide com o número mostrado. Portanto o resultado mostrado em (b) não pode estar certo para os fatores originais; o erro provável (identificável) é que foi digitado \,987122 em vez de \,987123.

Passo 8

Sobre a identificação dos erros (pergunta e):
  • Para (b) sim: conseguimos descobrir concretamente o erro — foi digitado o multiplicando \,987122 (um a menos) em vez de \,987123. A dedução veio da diferença exata igual ao outro fator.
  • Para (a) não de forma única: sabemos com certeza que \,989455911 não pode ser o produto (pois falta magnitude/dígitos), mas existem muitas maneiras de digitar errado que gerariam esse número (falta de algarismos, fatores trocados, etc.). Não há informação suficiente para reconstruir unicamente qual foi o erro de digitação que gerou exatamente \,989455911; só podemos afirmar que o visor está errado.

Resposta

a) Não. \,989455911 não pode estar certo (o produto tem \,12 dígitos; \,989455911 tem \,9).
b) Não. \,108935822554 não é correto; produto correto é \,108935932911. Erro provável: digitado \,987122 em vez de \,987123.
c) \,12 dígitos.
d) Último algarismo: \,1.
e) Para (b) sim — foi digitado \,987122 em vez de \,987123. Para (a) não de forma única — sabemos que está impossível, mas não há dados suficientes para identificar exatamente qual erro de digitação produziu aquele número.

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