Considere os números abaixo. Calcule-os usando série de Taylor em torno de 0 , com critério de parada \left|\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}\right|<10^{-3}, onde f é função usada na série de Taylor
\pi=4\left(\arctan \left(\frac{1}{2}\right)+\arctan \left(\frac{1}{3}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número
\pi=4\left(\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right)+\arctan\!\left(\frac{1}{3}\right)\right)
usando séries de Taylor (Maclaurin) em torno de 0, com critério de parada
\left|\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}\right|<10^{-3},
onde f é a função cuja série é usada (aqui f(x)=\arctan x).\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A identidade que expressa \pi em termos de \arctan(1/2) e \arctan(1/3).
  • Deve-se usar a série de Taylor centrada em 0 (Maclaurin) para \arctan x.
  • O critério de parada é a magnitude do termo genérico da série avaliado em x: parar quando esse módulo for menor que 10^{-3}.\n
    O que vamos precisar calcular explicitamente:
  • A expansão em série de \arctan x em torno de 0.
  • Para x=\tfrac{1}{2} e x=\tfrac{1}{3}, determinar até que ordem incluir termos (segundo o critério) e somar os termos correspondentes.
  • Multiplicar por 4 e apresentar a aproximação final de \pi.

Passo 2

Apresentar e justificar a série de Maclaurin de \arctan x.\n
A função \arctan x tem a expansão conhecida, válida para |x|\le1:
\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Explicação rápida (intuitiva) de onde vem isso: a derivada é \dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}. A série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k u^k\quad\text{para }|u|<1
aplicada com u=x^{2} \dfrac{1}{1+x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^{2k}. Integrando termo a termo (e escolhendo a constante de integração para que \arctan 0=0) obtém-se exatamente a série acima. \n
Nesta série só aparecem potências ímpares x^{2k+1}, e o coeficiente geral (o termo de ordem n=2k+1) é (-1)^k/(2k+1). Portanto o módulo do termo n=2k+1 é
\left|\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right|.

Passo 3

Interpretar o critério de parada para \arctan x.\n
O critério dado é
\left|\frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n}\right|<10^{-3}.
Para \arctan x os únicos termos não nulos correspondem a n=2k+1, e esses termos têm magnitude
\left|\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}\right|=\frac{|x|^{2k+1}}{2k+1}.
Portanto, na prática, para cada x (aqui x=\tfrac{1}{2} ou x=\tfrac{1}{3}) devemos aumentar k=0,1,2,\dots até encontrar o primeiro k tal que
\frac{|x|^{2k+1}}{2k+1}<10^{-3}.
Nesse momento paramos: incluímos todos os termos até o último que satisfaz \frac{|x|^{2k+1}}{2k+1}\ge10^{-3} e não incluímos o primeiro termo cujo módulo é menor que 10^{-3}. (Esse é o sentido usual do “critério de parada” pedido.)

Passo 4

Aplicar o critério para x=\tfrac{1}{2}: verificar termos sucessivos.\n
Calcular \dfrac{(1/2)^{n}}{n} para n ímpar:
  • n=1:\\ \dfrac{(1/2)^{1}}{1}=\dfrac{1}{2}=0,5, que é maior que 10^{-3}.
  • n=3:\\ \dfrac{(1/2)^{3}}{3}=\dfrac{1}{8\cdot3}=\dfrac{1}{24}\approx0,0416667, maior que 10^{-3}.
  • n=5:\\ \dfrac{(1/2)^{5}}{5}=\dfrac{1}{32\cdot5}=\dfrac{1}{160}=0,00625, maior que 10^{-3}.
  • n=7:\\ \dfrac{(1/2)^{7}}{7}=\dfrac{1}{128\cdot7}=\dfrac{1}{896}\approx0,00111607, ainda maior que 10^{-3} (ligeiramente maior).
  • n=9:\\ \dfrac{(1/2)^{9}}{9}=\dfrac{1}{512\cdot9}=\dfrac{1}{4608}\approx0,00021701, agora é menor que 10^{-3}.\n
    Conclusão: o primeiro termo cujo módulo fica abaixo de 10^{-3} ocorre para n=9. Pelo critério paramos antes desse termo, portanto incluímos os termos com n=1,3,5,7 (isto é, k=0,1,2,3) na soma para \arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Calcular a soma truncada para \arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right) com os termos decididos.\n
A série truncada (até n=7) é
\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx \frac{1}{2}-\frac{(1/2)^{3}}{3}+\frac{(1/2)^{5}}{5}-\frac{(1/2)^{7}}{7}.
Agora calculemos cada parcela numericamente:
\frac{1}{2}=0,5,
\frac{(1/2)^{3}}{3}=\frac{1}{24}\approx0,0416666667,
\frac{(1/2)^{5}}{5}=\frac{1}{160}=0,00625,
\frac{(1/2)^{7}}{7}=\frac{1}{896}\approx0,0011160714.
Somando com os sinais alternados:
\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx 0,5-0,0416666667+0,00625-0,0011160714.
Fazendo as contas passo a passo:
0,5-0,0416666667=0,4583333333,
0,4583333333+0,00625=0,4645833333,
0,4645833333-0,0011160714=0,4634672619\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Aplicar o critério para x=\tfrac{1}{3}: verificar termos sucessivos.\n
Calcular \dfrac{(1/3)^{n}}{n} para n ímpar:
  • n=1:\\ \dfrac{(1/3)^{1}}{1}=\dfrac{1}{3}\approx0,3333333, maior que 10^{-3}.
  • n=3:\\ \dfrac{(1/3)^{3}}{3}=\dfrac{1}{27\cdot3}=\dfrac{1}{81}\approx0,012345679, maior que 10^{-3}.
  • n=5:\\ \dfrac{(1/3)^{5}}{5}=\dfrac{1}{243\cdot5}=\dfrac{1}{1215}\approx0,000823045, agora é menor que 10^{-3}.\n
    Conclusão: o primeiro termo com módulo abaixo de 10^{-3} ocorre para n=5. Pelo critério incluímos os termos com n=1,3 (isto é, k=0,1) para \arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right).

Passo 7

Calcular a soma truncada para \arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right).\n
A série truncada (até n=3) é
\arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx \frac{1}{3}-\frac{(1/3)^{3}}{3}.
Calcule as parcelas:
\frac{1}{3}\approx0,3333333333,
\frac{(1/3)^{3}}{3}=\frac{1}{81}\approx0,0123456790.
Somando com sinal alternado:
\arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 0,3333333333-0,0123456790=0,3209876543\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Somar as aproximações e multiplicar por 4 para obter \pi.\n
Somando:
\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+\arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 0,4634672619+0,3209876543=0,7844549162.
Multiplicando por 4:
\pi\approx 4\cdot 0,7844549162=3,1378196648.

Passo 9

Avaliação do erro (estimativa) e comentário final.\n
Como as séries são alternadas com termos monotonicamente decrescentes em módulo, o erro ao truncar cada série é no máximo o módulo do primeiro termo omitido (estimativa do resto pelo Critério da Série Alternada). Para nossas truncaturas:
  • Para \arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right) o primeiro termo omitido foi com n=9, de módulo \dfrac{(1/2)^{9}}{9}=\dfrac{1}{4608}\approx0,00021701.
  • Para \arctan\!\left(\tfrac{1}{3}\right) o primeiro termo omitido foi com n=5, de módulo \dfrac{(1/3)^{5}}{5}=\dfrac{1}{1215}\approx0,000823045.
    Somando os erros possíveis e multiplicando por 4 (por causa do fator 4 na fórmula), um limite simples para o erro em \pi é
4\left(0,00021701+0,000823045\right)\approx 4\cdot 0,001040055\approx0,00416022.
Isto explica por que nossa aproximação 3,1378196648 difere do valor verdadeiro \pi\approx3,1415926536 em cerca de 0,00377, que é menor que o limite estimado 0,00416.\n
Observação motivadora: se quiser uma aproximação melhor em prova, bastaria tomar um critério de parada mais rigoroso (por exemplo 10^{-k} com k maior), ou incluir o primeiro termo omitido também.

Resposta

\pi\approx 3,1378196648

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