Encontre a Solução do PVI:
, com condições iniciais:
e
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial dada com as condições em
.
Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
Passo 2
Ideia básica (sem jargão): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa tentativa é procurar soluções da forma
, porque ao derivar um exponencial ele só é multiplicado por uma constante, o que torna a substituição simples. Assim, supondo
, temos:
Substituindo na equação diferencial:
Como
nunca é zero, podemos dividir por ele e obter a equação característica (uma equação quadrática para
):
Passo 3
Resolver a equação quadrática
.
Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo
Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
portanto as raízes são
Passo 4
Interpretação das raízes e forma geral da solução: como as duas raízes são reais e distintas, as funções
e
são soluções independentes da equação homogênea e a solução geral é combinação linear delas:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais. (Dica rápida: as exponenciais com diferentes expoentes são linearmente independentes, por isso precisamos dessas duas constantes.)
Passo 5
Calcular a derivada
da solução geral para aplicar
:
Avaliar
e
em
:
Temos, portanto, um sistema linear para
e
:
Passo 6
Resolver o sistema passo a passo. Multiplico a primeira equação por
para eliminar
facilmente:
Subtraindo essa equação da segunda equação
:
Agora uso
para achar
:
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais com os valores encontrados:
As condições estão satisfeitas, então os valores de
e
estão corretos.