Encontre a Solução do PVI: y^{\prime \prime}-15 y^{\prime}+50 y=0, com condições iniciais: y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial dada com as condições em x=0.
Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: y'' - 15y' + 50y = 0.
  • Condições iniciais: y(0)=2,\qquad y'(0)=1.

Passo 2

Ideia básica (sem jargão): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa tentativa é procurar soluções da forma y(x)=e^{rx}, porque ao derivar um exponencial ele só é multiplicado por uma constante, o que torna a substituição simples. Assim, supondo y(x)=e^{rx}, temos:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2}e^{rx}-15r e^{rx}+50 e^{rx}=0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por ele e obter a equação característica (uma equação quadrática para r):
r^{2}-15r+50=0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática \,r^{2}-15r+50=0.
Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja 50 e cuja soma seja 15. Esses números são 10 e 5. Logo
r^{2}-15r+50=(r-10)(r-5)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=10,\qquad r_{2}=5.

Passo 4

Interpretação das raízes e forma geral da solução: como as duas raízes são reais e distintas, as funções e^{10x} e e^{5x} são soluções independentes da equação homogênea e a solução geral é combinação linear delas:
y(x)=C_{1}e^{10x}+C_{2}e^{5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais. (Dica rápida: as exponenciais com diferentes expoentes são linearmente independentes, por isso precisamos dessas duas constantes.)

Passo 5

Calcular a derivada y'(x) da solução geral para aplicar y'(0)=1:
y'(x)=10C_{1}e^{10x}+5C_{2}e^{5x}.
Avaliar y e y' em x=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}=2,
y'(0)=10C_{1}+5C_{2}=1.
Temos, portanto, um sistema linear para C_{1} e C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] 10C_{1}+5C_{2}=1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo. Multiplico a primeira equação por 5 para eliminar C_{2} facilmente:
5C_{1}+5C_{2}=10.
Subtraindo essa equação da segunda equação 10C_{1}+5C_{2}=1:
(10C_{1}+5C_{2})-(5C_{1}+5C_{2})=1-10
5C_{1}=-9
C_{1}=-\frac{9}{5}.
Agora uso C_{1}+C_{2}=2 para achar C_{2}:
-\frac{9}{5}+C_{2}=2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2+\frac{9}{5}=\frac{10}{5}+\frac{9}{5}=\frac{19}{5}.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais com os valores encontrados:
y(0)=C_{1}+C_{2}=-\frac{9}{5}+\frac{19}{5}=\frac{10}{5}=2,
y'(0)=10C_{1}+5C_{2}=10\left(-\frac{9}{5}\right)+5\left(\frac{19}{5}\right)=-18+19=1.
As condições estão satisfeitas, então os valores de C_{1} e C_{2} estão corretos.

Resposta

y(x)=-\frac{9}{5}e^{10x}+\frac{19}{5}e^{5x}

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