Encontre a solução geral da EDO y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+36 y=3 \exp (6 x)+72. Lembre-se que \exp (x):=e^{x} (definiçao)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
y''-12y'+36y=3e^{6x}+72.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O lado direito é a soma de duas funções: 3e^{6x} e 72.
    O que se pede: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa EDO.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
y''-12y'+36y=0.
Explicação (método do polinômio característico): procura-se soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtém-se o polinômio característico
r^2-12r+36=0.
Resolvendo a equação quadrática: o discriminante é
\Delta = (-12)^2-4\cdot1\cdot36 = 144-144 = 0,
logo há uma raiz real dupla:
r = \frac{12}{2}=6 \quad(\text{multiplicidade }2).
Quando a raiz r=6 tem multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são e^{6x} e x e^{6x}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=\bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{6x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da EDO completa. Método usado: coeficientes indeterminados. Ideia rápida: como o lado direito é combinação de funções simples, supõe-se uma forma para y_p parecida com o termo forçante, com constantes a determinar.
Detalhe importante (ressonância): o termo e^{6x} aparece nas soluções da homogênea; portanto há ressonância. Regra prática: se tentássemos um A e^{6x} ele estaria na homogênea, então multiplicamos por x^s onde s é a multiplicidade da raiz r=6, aqui s=2. O termo 3e^{6x} corresponde a um polinômio de grau 0 multiplicando e^{6x}, então a forma adequada é A x^2 e^{6x}.
Para o termo constante 72 (que é 72\cdot e^{0x}) a escolha natural é uma constante B, porque e^{0x}=1 não está na homogênea (a raiz r=0 não é raiz do característico), então um palpite B basta.
Portanto tomamos a ansatz para a particular como soma de duas partes:
y_p(x)=A x^2 e^{6x} + B,
com A e B a determinar.

Passo 4

Determinar B (parte constante). Se y_p=B constante, então y_p'=0 e y_p''=0. Substituindo na equação:
0 -12\cdot 0 +36 B = 72.
Logo
36 B = 72 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{72}{36}=2.

Passo 5

Determinar A (parte \propto e^{6x}). Tome
y_{p1}(x)=A x^2 e^{6x}.
Calculamos as derivadas passo a passo (uso da regra do produto e da cadeia).
Primeira derivada:
y_{p1}' = A\frac{d}{dx}\bigl(x^2 e^{6x}\bigr) = A\bigl(2x e^{6x} + x^2\cdot 6 e^{6x}\bigr) = A e^{6x}\bigl(6x^2 + 2x\bigr).
Segunda derivada (derivando y_{p1}'):
y_{p1}'' = A\frac{d}{dx}\Bigl[e^{6x}\bigl(6x^2+2x\bigr)\Bigr] = A\Bigl(6 e^{6x}\bigl(6x^2+2x\bigr) + e^{6x}\bigl(12x+2\bigr)\Bigr).
Colocando em evidência A e^{6x}:
y_{p1}'' = A e^{6x}\bigl(36x^2+12x+12x+2\bigr) = A e^{6x}\bigl(36x^2+24x+2\bigr).

Passo 6

Substituímos y_{p1},y_{p1}',y_{p1}'' em L[y]=y''-12y'+36y e simplificamos:
L[y_{p1}] = A e^{6x}\bigl(36x^2+24x+2\bigr) -12\cdot A e^{6x}\bigl(6x^2+2x\bigr) +36\cdot A x^2 e^{6x}.
Fatorando A e^{6x}:
L[y_{p1}] = A e^{6x}\Bigl[(36x^2+24x+2) -12(6x^2+2x) +36x^2\Bigr].
Calcule o que há entre colchetes:
(36x^2+24x+2) -72x^2 -24x +36x^2 = (36-72+36)x^2 + (24-24)x +2 = 2.
Logo
L[y_{p1}] = A e^{6x}\cdot 2 = 2A e^{6x}.
Queremos que a contribuição desta parte iguale o termo 3e^{6x} do lado direito, ou seja
2A e^{6x} = 3 e^{6x} \quad\Rightarrow\quad 2A=3 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{2}.

Passo 7

Juntando as partes particulares obtidas em Passo 4 e Passo 6:
y_p(x)=y_{p1}+B = \frac{3}{2}x^2 e^{6x} + 2.
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{6x} + \frac{3}{2}x^2 e^{6x} + 2.
Opcionalmente pode-se agrupar os termos com e^{6x}:
y(x)=\Bigl(C_1 + C_2 x + \frac{3}{2}x^2\Bigr)e^{6x} + 2.

Resposta

y(x)=\Bigl(C_1 + C_2 x + \frac{3}{2}x^2\Bigr)e^{6x} + 2

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