Encontre a solução geral da EDO
. Lembre-se que
(definiçao)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O lado direito é a soma de duas funções:
e .
O que se pede: encontrar a solução geralque satisfaça essa EDO.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada
Explicação (método do polinômio característico): procura-se soluções do tipo
. Substituindo na homogênea obtém-se o polinômio característico
Resolvendo a equação quadrática: o discriminante é
logo há uma raiz real dupla:
Quando a raiz
tem multiplicidade
, as soluções independentes da homogênea são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da EDO completa. Método usado: coeficientes indeterminados. Ideia rápida: como o lado direito é combinação de funções simples, supõe-se uma forma para
parecida com o termo forçante, com constantes a determinar.
Detalhe importante (ressonância): o termo
aparece nas soluções da homogênea; portanto há ressonância. Regra prática: se tentássemos um
ele estaria na homogênea, então multiplicamos por
onde
é a multiplicidade da raiz
, aqui
. O termo
corresponde a um polinômio de grau
multiplicando
, então a forma adequada é
.
Para o termo constante
(que é
) a escolha natural é uma constante
, porque
não está na homogênea (a raiz
não é raiz do característico), então um palpite
basta.
Portanto tomamos a ansatz para a particular como soma de duas partes:
com
e
a determinar.
Passo 4
Determinar
(parte constante). Se
constante, então
e
. Substituindo na equação:
Logo
Passo 5
Determinar
(parte
). Tome
Calculamos as derivadas passo a passo (uso da regra do produto e da cadeia).
Primeira derivada:
Segunda derivada (derivando
):
Colocando em evidência
:
Passo 6
Substituímos
em
e simplificamos:
Fatorando
:
Calcule o que há entre colchetes:
Logo
Queremos que a contribuição desta parte iguale o termo
do lado direito, ou seja
Passo 7
Juntando as partes particulares obtidas em Passo 4 e Passo 6:
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Opcionalmente pode-se agrupar os termos com
: