Sejam x e y com aproximações \bar{x} e \bar{y}, e erros absolutos E A_{x}=0.02 e E A_{y}=-0.12, respectivamente. Determine os erros absolutos, E A_{(x+y)} e E A_{(x-y)}, e relativos, E R_{(x+y)} e E R_{(x-y)}, na aproximação de x+y por \bar{x}+\bar{y} e de x-y por \bar{x}-\bar{y} nos seguintes casos:
\bar{x}=1456.1 e \bar{y}=12.5

Passo 1

O enunciado trata de propagação de erros em soma e subtração. Temos duas grandezas x e y aproximadas por \bar{x} e \bar{y} com erros absolutos
E A_{x}=x-\bar{x}=0,02, \quad E A_{y}=y-\bar{y}=-0,12.
Queremos achar os erros absolutos e relativos na aproximação de x+y por \bar{x}+\bar{y} e de x-y por \bar{x}-\bar{y}, sabendo que \bar{x}=1456,1 e \bar{y}=12,5.

Passo 2

Para soma e subtração, o erro absoluto se propaga linearmente. Assim,
E A_{(x+y)}=(x+y)-(\bar{x}+\bar{y}) = (x-\bar{x}) + (y-\bar{y}) =E A_{x}+E A_{y},
E A_{(x-y)}=(x-y)-(\bar{x}-\bar{y}) = (x-\bar{x}) - (y-\bar{y}) =E A_{x}-E A_{y}.

Passo 3

Substituindo E A_{x}=0,02 e E A_{y}=-0,12 obtemos
E A_{(x+y)}=0,02+(-0,12)=-0,10,
E A_{(x-y)}=0,02-(-0,12)=0,14.

Passo 4

O erro relativo na aproximação usa o valor aproximado no denominador:
E R_{(x+y)}=\frac{E A_{(x+y)}}{\bar{x}+\bar{y}}, \quad E R_{(x-y)}=\frac{E A_{(x-y)}}{\bar{x}-\bar{y}}.

Passo 5

Calculemos \bar{x}+\bar{y}=1456,1+12,5=1468,6 e \bar{x}-\bar{y}=1456,1-12,5=1443,6. Então
E R_{(x+y)}=\frac{-0,10}{1468,6}\approx -6,81\times10^{-5},
E R_{(x-y)}=\frac{0,14}{1443,6}\approx 9,69\times10^{-5}.

Resposta

E A_{(x+y)}=-0,10 E A_{(x-y)}=0,14 E R_{(x+y)}\approx -6,81\times10^{-5} E R_{(x-y)}\approx 9,69\times10^{-5}

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