Seja
um número complexo não nulo, onde
e
são reais. Se a e
são números reais tais que
, podemos afirmar que.
.
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos que
é um número complexo não nulo, com
. Existe
tais que
A pergunta é verificar se podemos afirmar que
. Dados relevantes:
e
reais,
(ou seja,
e
não são ambos zero), e a igualdade acima que define
e
.
Passo 2
Estratégia inicial e operação útil. Para separar parte real e imaginária da fração
é conveniente multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é
. O motivo: multiplicar um número complexo pelo seu conjugado produz um número real igual à soma dos quadrados das partes reais e imaginárias, o que elimina a parte imaginária do denominador e facilita a identificação das partes real e imaginária do quociente.
Passo 3
Aplicando a multiplicação pelo conjugado. Multiplicamos numerador e denominador por
:
Calculemos o denominador usando a fórmula do produto de conjugados:
Calculemos o numerador como quadrado:
Portanto a fração fica
Assim identificamos as partes real e imaginária:
Passo 4
Cálculo de
. Agora vamos somar os quadrados de
e
. Usamos as expressões obtidas no passo anterior:
Desenvolvendo os termos do numerador:
Somando:
Reconhecemos isso como um quadrado perfeito:
Substituindo no quociente:
Passo 5
Interpretação final e observação útil. O resultado mostra que o número complexo
tem módulo 1, ou seja, está na circunferência unitária. Uma forma rápida de ver isso é notar que
cujo módulo é
. Mas o cálculo explícito feito acima é o que você precisa saber aplicar na prova.