Seja z=x+i y um número complexo não nulo, onde x e y são reais. Se a e b são números reais tais que \frac{x-i y}{x+i y}=a+i b, podemos afirmar que. \mathrm{R}: \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=1.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos que z=x+i y é um número complexo não nulo, com x,y\in\mathbb{R}. Existe a,b\in\mathbb{R} tais que
\frac{x-i y}{x+i y}=a+i b.
A pergunta é verificar se podemos afirmar que a^{2}+b^{2}=1. Dados relevantes: x e y reais, z\neq0 (ou seja, x e y não são ambos zero), e a igualdade acima que define a e b.

Passo 2

Estratégia inicial e operação útil. Para separar parte real e imaginária da fração \dfrac{x-i y}{x+i y} é conveniente multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é x-i y. O motivo: multiplicar um número complexo pelo seu conjugado produz um número real igual à soma dos quadrados das partes reais e imaginárias, o que elimina a parte imaginária do denominador e facilita a identificação das partes real e imaginária do quociente.

Passo 3

Aplicando a multiplicação pelo conjugado. Multiplicamos numerador e denominador por x-i y:
\frac{x-i y}{x+i y}=\frac{(x-i y)(x-i y)}{(x+i y)(x-i y)}.
Calculemos o denominador usando a fórmula do produto de conjugados:
(x+i y)(x-i y)=x^{2}+y^{2}.
Calculemos o numerador como quadrado:
(x-i y)^{2}=x^{2}-2i x y - y^{2}.
Portanto a fração fica
\frac{x-i y}{x+i y}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{-2x y}{x^{2}+y^{2}}.
Assim identificamos as partes real e imaginária:
a=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},\qquad b=\frac{-2x y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Cálculo de a^{2}+b^{2}. Agora vamos somar os quadrados de a e b. Usamos as expressões obtidas no passo anterior:
a^{2}+b^{2}=\frac{(x^{2}-y^{2})^{2}+(-2x y)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Desenvolvendo os termos do numerador:
(x^{2}-y^{2})^{2}=x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4},
(-2x y)^{2}=4x^{2}y^{2}.
Somando:
(x^{2}-y^{2})^{2}+(-2x y)^{2}=x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4}+4x^{2}y^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}.
Reconhecemos isso como um quadrado perfeito:
x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}.
Substituindo no quociente:
a^{2}+b^{2}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=1.

Passo 5

Interpretação final e observação útil. O resultado mostra que o número complexo a+i b tem módulo 1, ou seja, está na circunferência unitária. Uma forma rápida de ver isso é notar que \dfrac{x-i y}{x+i y}=\dfrac{\overline{z}}{z} cujo módulo é \dfrac{|\overline{z}|}{|z|}=1. Mas o cálculo explícito feito acima é o que você precisa saber aplicar na prova.

Resposta

a^{2}+b^{2}=1

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