Considere os números complexos:
Determine:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dados:
-
. -
.
-
- Pedido:
- Calcular
.
- Calcular
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
- Dividir números complexos fica muito simples se usarmos a representação polar/exponencial. Em forma exponencial, um número complexo é escrito como
, onde: -
é o módulo (distância até a origem), quando o número é . -
é o argumento (ângulo), ajustado de acordo com o quadrante.
-
- Regra da divisão em forma exponencial: se
e , então - Vou usar essa regra porque os dois números já estão fornecidos também em forma exponencial; isso torna a conta direta (módulos dividem e ângulos subtraem). Depois eu mostro a verificação fazendo a divisão em forma retangular (multiplicando pelo conjugado) para você ver que bate certinho.
Passo 3
Confirmando módulos e argumentos (curta revisão):
- Para
: - módulo:
- argumento:
porque e (primeiro quadrante).
- módulo:
- Para
: - módulo:
- argumento:
também no primeiro quadrante.
- módulo:
- Observação: esses valores coincidem com as formas exponenciais dadas no enunciado, então estamos consistentes.
Passo 4
Aplicando a regra da divisão em forma exponencial:
- Usando
, substituindo os valores: - Então, em forma polar/exponencial temos já o resultado:
.
Passo 5
Convertendo o resultado para forma retangular (parte real + j parte imaginária):
- Usamos a identidade
. Assim, - Como
e , obtemos - Sabendo
e , temos
Passo 6
Verificação (divisão em forma retangular multiplicando pelo conjugado):
- Fazer
. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador : - Calculando o numerador:
Como , isso vira - Denominador:
- Portanto o quociente é
que coincide com o resultado obtido pela forma polar. Boa checagem!