Considere os números complexos:
z_{1}=5 \sqrt{3}+j 5=10 e^{j 30^{\circ}} \quad z_{2}=1+j \sqrt{3}=2 e^{j 60^{\circ}}
Determine:
z_{1} / z_{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dados:
    • z_{1}=5\sqrt{3}+j5=10\,e^{j30^\circ}.
    • z_{2}=1+j\sqrt{3}=2\,e^{j60^\circ}.
  • Pedido:
    • Calcular z_{1}/z_{2}.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática):
  • Dividir números complexos fica muito simples se usarmos a representação polar/exponencial. Em forma exponencial, um número complexo é escrito como r e^{j\theta}, onde:
    • r é o módulo (distância até a origem), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} quando o número é x+j y.
    • \theta é o argumento (ângulo), \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) ajustado de acordo com o quadrante.
  • Regra da divisão em forma exponencial: se z_{1}=r_{1}e^{j\theta_{1}} e z_{2}=r_{2}e^{j\theta_{2}}, então \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\,e^{j(\theta_{1}-\theta_{2})}.
  • Vou usar essa regra porque os dois números já estão fornecidos também em forma exponencial; isso torna a conta direta (módulos dividem e ângulos subtraem). Depois eu mostro a verificação fazendo a divisão em forma retangular (multiplicando pelo conjugado) para você ver que bate certinho.

Passo 3

Confirmando módulos e argumentos (curta revisão):
  • Para z_{1}=5\sqrt{3}+j5:
    • módulo: r_{1}=\sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+5^{2}}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10.
    • argumento: \theta_{1}=\arctan\!\left(\frac{5}{5\sqrt{3}}\right)=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=30^\circ,porque x>0 e y>0 (primeiro quadrante).
  • Para z_{2}=1+j\sqrt{3}:
    • módulo: r_{2}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
    • argumento: \theta_{2}=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right)=\arctan(\sqrt{3})=60^\circ,também no primeiro quadrante.
  • Observação: esses valores coincidem com as formas exponenciais dadas no enunciado, então estamos consistentes.

Passo 4

Aplicando a regra da divisão em forma exponencial:
  • Usando \dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\,e^{j(\theta_{1}-\theta_{2})}, substituindo os valores: \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{10}{2}\,e^{j(30^\circ-60^\circ)}=5\,e^{-j30^\circ}.
  • Então, em forma polar/exponencial temos já o resultado: 5\,e^{-j30^\circ}.

Passo 5

Convertendo o resultado para forma retangular (parte real + j parte imaginária):
  • Usamos a identidade e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta. Assim, 5\,e^{-j30^\circ}=5\big(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)\big).
  • Como \cos(-\theta)=\cos\theta e \sin(-\theta)=-\sin\theta, obtemos 5\,e^{-j30^\circ}=5\big(\cos 30^\circ - j\sin 30^\circ\big).
  • Sabendo \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, temos 5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-j\frac{1}{2}\right)=\frac{5\sqrt{3}}{2}-j\frac{5}{2}.

Passo 6

Verificação (divisão em forma retangular multiplicando pelo conjugado):
  • Fazer \dfrac{5\sqrt{3}+j5}{1+j\sqrt{3}}. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador 1-j\sqrt{3}: \frac{5\sqrt{3}+j5}{1+j\sqrt{3}}\cdot\frac{1-j\sqrt{3}}{1-j\sqrt{3}} =\frac{(5\sqrt{3}+j5)(1-j\sqrt{3})}{(1+j\sqrt{3})(1-j\sqrt{3})}.
  • Calculando o numerador: (5\sqrt{3}+j5)(1-j\sqrt{3})=5\sqrt{3}-j15+j5-j^{2}5\sqrt{3}.Como j^{2}=-1, isso vira 5\sqrt{3}-j15+j5+5\sqrt{3}=10\sqrt{3}-j10.
  • Denominador: (1+j\sqrt{3})(1-j\sqrt{3})=1+( \sqrt{3})^{2}=1+3=4.
  • Portanto o quociente é \frac{10\sqrt{3}-j10}{4}=\frac{5\sqrt{3}}{2}-j\frac{5}{2},que coincide com o resultado obtido pela forma polar. Boa checagem!

Resposta

\;5\,e^{-j30^\circ} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}-j\dfrac{5}{2}

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