Obtenha \mathrm{f}^{-1}(3), sabendo que \mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{-2 x}{x-1}.

Passo 1

O enunciado fornece a função \mathrm{f}(x)=\dfrac{-2x}{x-1} e pede para encontrar \mathrm{f}^{-1}(3).
Informações dadas:
  • A expressão de \mathrm{f}(x) é \dfrac{-2x}{x-1}.
  • A pergunta específica é: qual é o valor de \mathrm{f}^{-1}(3)?
    Observação importante (só identificando, sem resolver ainda): \mathrm{f}^{-1}(3) significa o número x tal que \mathrm{f}(x)=3.

Passo 2

O que é \mathrm{f}^{-1} e como encontrá-la na prática — mini-aula rápida e prática:
  • A função inversa \mathrm{f}^{-1} responde à pergunta “para qual x a imagem pela função \mathrm{f} vale um dado número y?”. Em símbolos: y=\mathrm{f}(x) e x=\mathrm{f}^{-1}(y).
  • Método padrão para achar \mathrm{f}^{-1}(y): escrever y=\mathrm{f}(x) e resolver essa equação para x em termos de y. O resultado, depois de trocar as letras, é a fórmula da inversa.
  • Para obter \mathrm{f}^{-1}(3) especificamente, pode-se (i) resolver \mathrm{f}(x)=3 diretamente ou (ii) achar a fórmula geral de \mathrm{f}^{-1}(y) e então substituir y=3. Vou fazer (ii) porque ensina o procedimento geral e depois uso em y=3.

Passo 3

Achar a inversa em forma geral: comece por escrever
y=\frac{-2x}{x-1}.
Agora resolvemos essa equação para x em função de y. Primeiro, multiplicar ambos os lados por x-1 (lembrando que x\neq1 pois aí a função não está definida):
y(x-1)=-2x.
Expandindo o lado esquerdo:
yx - y = -2x.
Coloco todos os termos com x de um lado:
yx + 2x = y.
Fatorando x no lado esquerdo:
x(y+2)=y.
Finalmente, isolando x:
x=\frac{y}{y+2}.
Portanto, a fórmula da inversa é
\mathrm{f}^{-1}(y)=\frac{y}{y+2},
com a ressalva de que y\neq -2 (pois y=-2 tornaria o denominador zero; isso corresponde ao fato de que y=-2 não pertence à imagem de \mathrm{f}).

Passo 4

Agora uso a fórmula da inversa para calcular \mathrm{f}^{-1}(3). Substituindo y=3 em
\mathrm{f}^{-1}(y)=\frac{y}{y+2},
obtemos
\mathrm{f}^{-1}(3)=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}.

Passo 5

Verificações rápidas (pra ficar seguro e para treino de prova):
  • Domínio original: x\neq1. O valor encontrado x=\dfrac{3}{5} satisfaz x\neq1, então é aceitável.
  • Campo da inversa: lembramos que y\neq -2; aqui y=3 não é -2, então está tudo certo.

Passo 6

Checagem final substituindo diretamente na função original (confirmação):
Calcular \mathrm{f}\!\left(\dfrac{3}{5}\right):
\mathrm{f}\!\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{-2\cdot\frac{3}{5}}{\frac{3}{5}-1}=\frac{-\tfrac{6}{5}}{-\tfrac{2}{5}}=\left(-\tfrac{6}{5}\right)\cdot\left(-\tfrac{5}{2}\right)=3.
A conta fecha: de fato \mathrm{f}\!\left(\dfrac{3}{5}\right)=3, então \mathrm{f}^{-1}(3)=\dfrac{3}{5}.

Resposta

\dfrac{3}{5}

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