Represente em intervalo real a função
.
Passo 1
O enunciado pede: representar em intervalo real a função
.
Informações dadas e o que é solicitado:
Informações dadas e o que é solicitado:
- A função é uma raiz quadrada de uma expressão racional.
- É preciso encontrar o conjunto de todos os
para os quais a função está bem definida (domínio).
Passo 2
Condições necessárias para que
esteja definida:
- O radicando deve ser não negativo:
- O denominador não pode ser zero:
Essas duas condições são obrigatórias ao mesmo tempo.
Passo 3
Para resolver a desigualdade
usamos análise de sinais. Primeiro encontramos os pontos em que numerador ou denominador se anulam, pois eles dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante.
Passo 4
Calcular as raízes do numerador e do denominador:
- Numerador
dá . - Denominador
dá (esse ponto será excluído do domínio).
Assim os pontos críticos sãoe .
Passo 5
Fazemos um quadro de sinais com os intervalos gerados por esses pontos:
,
e
. Testamos um valor em cada intervalo para saber o sinal da fração.
- Para
, por exemplo :
logo
. Nesse intervalo a fração é positiva.
- Para
, por exemplo :
logo
. Nesse intervalo a fração é negativa.
- Para
, por exemplo :
logo
. Nesse intervalo a fração é positiva.
Passo 6
Agora tratamos os pontos críticos:
- Em
o numerador é zero e o denominador é . Assim em e é permitido. Portanto pertence ao domínio. - Em
o denominador é zero, a expressão é indefinida, então deve ser excluído.
Combinando a análise de sinais e as inclusões/exclusões: a desigualdade
é satisfeita para
e para
, excluindo
.
Passo 7
Conclusão final: o domínio (representação em intervalos reais) da função é a união desses intervalos onde a raiz está bem definida.