Represente em intervalo real a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\frac{2 x+3}{2 x+1}}.

Passo 1

O enunciado pede: representar em intervalo real a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\dfrac{2 x+3}{2 x+1}}.
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função é uma raiz quadrada de uma expressão racional.
  • É preciso encontrar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} para os quais a função está bem definida (domínio).

Passo 2

Condições necessárias para que \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\dfrac{2 x+3}{2 x+1}} esteja definida:
  1. O radicando deve ser não negativo:
\frac{2x+3}{2x+1}\ge 0.
  1. O denominador não pode ser zero:
2x+1\neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq -\tfrac{1}{2}.
Essas duas condições são obrigatórias ao mesmo tempo.

Passo 3

Para resolver a desigualdade \dfrac{2x+3}{2x+1}\ge 0 usamos análise de sinais. Primeiro encontramos os pontos em que numerador ou denominador se anulam, pois eles dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante.

Passo 4

Calcular as raízes do numerador e do denominador:
  • Numerador 2x+3=0 x=-\tfrac{3}{2}.
  • Denominador 2x+1=0 x=-\tfrac{1}{2} (esse ponto será excluído do domínio).
    Assim os pontos críticos são x=-\tfrac{3}{2} e x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Fazemos um quadro de sinais com os intervalos gerados por esses pontos: (-\infty,-\tfrac{3}{2}), (-\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}) e (-\tfrac{1}{2},\infty). Testamos um valor em cada intervalo para saber o sinal da fração.
  • Para x<-\tfrac{3}{2}, por exemplo x=-2:
2x+3=2(-2)+3=-1\quad(\text{negativo}),\qquad 2x+1=2(-2)+1=-3\quad(\text{negativo}),
logo \dfrac{2x+3}{2x+1}=\dfrac{\text{neg}}{\text{neg}}>\!0. Nesse intervalo a fração é positiva.
  • Para -\tfrac{3}{2}<x<-\tfrac{1}{2}, por exemplo x=-1:
2x+3=1\quad(\text{positivo}),\qquad 2x+1=-1\quad(\text{negativo}),
logo \dfrac{2x+3}{2x+1}=\dfrac{\text{pos}}{\text{neg}}<\!0. Nesse intervalo a fração é negativa.
  • Para x>-\tfrac{1}{2}, por exemplo x=0:
2x+3=3\quad(\text{positivo}),\qquad 2x+1=1\quad(\text{positivo}),
logo \dfrac{2x+3}{2x+1}=\dfrac{\text{pos}}{\text{pos}}>0. Nesse intervalo a fração é positiva.

Passo 6

Agora tratamos os pontos críticos:
  • Em x=-\tfrac{3}{2} o numerador é zero e o denominador é 2(-\tfrac{3}{2})+1=-2\neq0. Assim \dfrac{2x+3}{2x+1}=0 em x=-\tfrac{3}{2} e \sqrt{0}=0 é permitido. Portanto x=-\tfrac{3}{2} pertence ao domínio.
  • Em x=-\tfrac{1}{2} o denominador é zero, a expressão é indefinida, então x=-\tfrac{1}{2} deve ser excluído.
Combinando a análise de sinais e as inclusões/exclusões: a desigualdade \dfrac{2x+3}{2x+1}\ge0 é satisfeita para x\in(-\infty,-\tfrac{3}{2}] e para x\in(-\tfrac{1}{2},\infty), excluindo x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Conclusão final: o domínio (representação em intervalos reais) da função é a união desses intervalos onde a raiz está bem definida.

Resposta

(-\infty,-\tfrac{3}{2}] \cup \left(-\tfrac{1}{2},\infty\right)

Exercícios relacionados