Considere os números complexos:
$
\begin{aligned}
z_{1} & =11-6_{i} \\
z_{2} & =18+7_{i} \\
z_{3} & =1+\frac{\pi}{3} i
\end{aligned}
$
Calcule e represente no plano complexo:
$
\text { a.1) } \frac{2 z_{1}-z_{2}}{1-i}
$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos juntos! A gente tem três números complexos:
z1 &= 11 - 6i z2 &= 18 + 7i z3 &= 1 + pi3i
Mas a gente vai focar na parte a.1), que pede para calcular:
2 z1 - z21 - i
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas operações básicas com números complexos, como multiplicação por escalar, subtração e divisão de complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular 2 z1. Multiplicar um número complexo por um escalar (número real) significa multiplicar tanto a parte real quanto a parte imaginária pelo escalar. Então:
2 z1 = 2 times (11 - 6i) = 22 - 12i

Passo 3

Agora, vamos fazer a subtração 2 z1 - z2:
2 z1 - z2 = (22 - 12i) - (18 + 7i)
Para subtrair dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias separadamente:
22 - 18 = 4 (parte real)
-12i - 7i = -19i (parte imaginária) á
Então:
2 z1 - z2 = 4 - 19i

Passo 4

Agora, vamos dividir o resultado 4 - 19i pelo denominador 1 - i. Para dividir números complexos, a gente multiplica o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1 - i é 1 + i.
Então:
4 - 19i1 - i times 1 + i1 + i = (4 - 19i)(1 + i)(1 - i)(1 + i)

Passo 5

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
(4 - 19i)(1 + i) = 4 times 1 + 4 times i - 19i times 1 - 19i times i
= 4 + 4i - 19i - 19i^2
Lembrando que i^2 = -1, então:
= 4 + 4i - 19i + 19
= (4 + 19) + (4i - 19i)
= 23 - 15i
Denominador:
(1 - i)(1 + i) = 1 times 1 + 1 times i - i times 1 - i times i
= 1 + i - i - i^2
= 1 - (-1) (já que i^2 = -1) á
= 2
Então, a divisão fica:
23 - 15i2 = 232 - 152i

Resposta

2 z1 - z21 - i = 232 - 152i

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