Questão 3. Mostre que a equação diferencial y^3+3 x y^2 y^prime=0, x>0, y>0, é simultaneamente exata e separável. Em seguida, resolva-a, usando estes dois métodos. Por fim, compare os resultados obtidos nos dois casos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
y^3 + 3x,y^2,y' = 0, x>0,;y>0,
é simultaneamente exata e também separável, e em seguida resolvê-la pelos dois métodos. O conteúdo é Equações Diferenciais de primeira ordem, nos tópicos de equações exatas e de equações separáveis.

Passo 2

Para ver exatidão, escrevemos a equação na forma diferencial
y^3,dx + 3x,y^2,dy = 0
Aqui
M(x,y) = y^3, N(x,y) = 3x,y^2
Calculamos
partial Mpartial y = 3y^2, partial Npartial x = 3y^2,
logo partial M/partial y = partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Para resolver por exatidão, buscamos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x = M(x,y) = y^3, partial Fpartial y = N(x,y) = 3x,y^2
Integramos M em relação a x:
F(x,y) = integral y^3,dx = x,y^3 + h(y)
Derivando em y:
partial Fpartial y = 3x,y^2 + h'(y)
e isso deve ser igual a 3x,y^2. Logo h'(y)=0 e h(y)=constante. A solução implícita é
F(x,y) = x,y^3 = C

Passo 4

Agora resolvemos por separação de variáveis. Da equação original tiramos
3x,y^2,dydx = -y^3 Longrightarrow dydx = -y3x
Separamos:
dyy = -13,dxx
Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = -13integral 1x,dx Longrightarrow ln y = -tfrac13ln x + K
Reescrevendo
ln y + tfrac13ln x = K Longrightarrow lnl(x^1/3yr)=K Longrightarrow x^1/3y = C1
Elevando ao cubo:
x,y^3 = C1^3 = C,
que é exatamente a mesma solução implícita obtida no método exato.

Passo 5

Nos dois métodos chegamos à mesma família de soluções implícita
x,y^3 = C,
com C constante arbitrária. Isso confirma que as soluções coincidem.

Resposta

A solução geral é
x,y^3 = C,
onde C é constante.

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