Questão 3. Mostre que a equação diferencial
, é simultaneamente exata e separável. Em seguida, resolva-a, usando estes dois métodos. Por fim, compare os resultados obtidos nos dois casos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação diferencial
é simultaneamente exata e também separável, e em seguida resolvê-la pelos dois métodos. O conteúdo é Equações Diferenciais de primeira ordem, nos tópicos de equações exatas e de equações separáveis.
Passo 2
Para ver exatidão, escrevemos a equação na forma diferencial
Aqui
Calculamos
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Para resolver por exatidão, buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
:
e isso deve ser igual a
. Logo
e
. A solução implícita é
Passo 4
Agora resolvemos por separação de variáveis. Da equação original tiramos
Separamos:
Integramos ambos os lados:
Reescrevendo
Elevando ao cubo:
que é exatamente a mesma solução implícita obtida no método exato.
Passo 5
Nos dois métodos chegamos à mesma família de soluções implícita
com
constante arbitrária. Isso confirma que as soluções coincidem.
Resposta
A solução geral é
onde
é constante.