Considere os números complexos:
$
\begin{aligned}
z_{1} & =11-6_{i} \\
z_{2} & =18+7_{i} \\
z_{3} & =1+\frac{\pi}{3} i
\end{aligned}
$
Calcule e represente no plano complexo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular e^z3 , onde z3 = 1 + pi3i . Isso envolve conceitos de números complexos e a função exponencial para números complexos. Vamos usar fórmulas de exponenciais de números complexos e entender como representar o resultado no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a exponencial de um número complexo. Se tivermos um número complexo na forma z = a + bi , então:
e^z = e^a cdot e^bi
E sabemos que e^bi pode ser representado usando a fórmula de Euler:
e^bi = cos(b) + i cdot sin(b)

Passo 3

Aplicando isso ao nosso z3 = 1 + pi3i , temos:
e^z3 = e^1 + pi3i = e^1 cdot e^pi3i

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, e^1 é simplesmente e , que é aproximadamente 2,718.
Agora, para e^pi3i , usamos a fórmula de Euler:
e^pi3i = cos(pi3) + i cdot sin(pi3)

Passo 5

Calculando os valores das funções trigonométricas:
cos(pi3) = 12
sin(pi3) = raiz32
Então:
e^pi3i = 12 + i cdot raiz32

Passo 6

Agora, multiplicamos e^1 pelo resultado acima:
e^z3 = e cdot ( 12 + i cdot raiz32 ) = e2 + i cdot e raiz32

Passo 7

Portanto, e^z3 na forma padrão a + bi fica:
e^z3 = e2 + i cdot e raiz32

Resposta

O valor de e^z3 é e2 + i cdot e raiz32 . No plano complexo, esse número está localizado no ponto ( e2, e raiz32 ).

Exercícios relacionados