Questão 1. Em cada alternativa abaixo, marque
se ela for verdadeira ou F se ela for falsa.
I-( ) A EDO
tem ordem 4.
II-( ) A EDO linear
tem ordem 1 , no entanto, esta equação não está na forma padrão. Além disso, a equação
, é uma EDO linear homogênea de
ordem com coeficientes constantes.
III-( ) É possível transformar a equação
em uma EDO de primeira ordem, linear em
, fazendo-se a substituição
e
.
IV-( ) Sejam
, a solução geral da equação
e
uma solução particular desta equação, para
e
. Então, podemos afirmar que
.
V-( ) O número de constantes na solução geral de uma EDO é igual a ordem desta EDO.
VI-( ) Dizemos que uma equação diferencial na forma
é homogênea, se para todo
, vale a relação
.
VII-( ) Podemos afirmar que as funções
e
são soluções linearmente independentes da equação diferencial
, e por este motivo
é a solução geral desta equação.
VIII-( ) A solução do problema de valor inicial
, é
.
IX-( ) As equações
e
não são separáveis. No entanto, é possível, através de substituições convenientes transformar a primeira equação em uma equação separável.
X-( ) Podemos afirmar que um problema de valor inicial
sempre tem solução única.
XI-( ) Dada uma equação diferencial linear de 2a ordem (em y), então podemos afirmar que esta equação não pode conter funções não lineares da variável independente
.
I-( ) A EDO
II-( ) A EDO linear
IV-( ) Sejam
VI-( ) Dizemos que uma equação diferencial na forma
IX-( ) As equações
X-( ) Podemos afirmar que um problema de valor inicial
XI-( ) Dada uma equação diferencial linear de 2a ordem (em y), então podemos afirmar que esta equação não pode conter funções não lineares da variável independente
Passo 1
Beleza, temos uma questão com 11 afirmações sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O objetivo é identificar se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). Para resolver, vamos precisar entender conceitos como ordem da EDO, linearidade, soluções gerais, independência linear, equações homogêneas e métodos de resolução como substituições e separação de variáveis.
Passo 2
Afirmação I: A EDO
tem ordem 4.
Análise: A ordem de uma EDO é determinada pelo maior derivado presente na equação. Aqui,
é a segunda derivada, mesmo que esteja elevada à quinta potência. Portanto, a ordem é 2, não 4.
Resposta: F (Falsa)
Passo 3
Afirmação II: A EDO linear
tem ordem 1, no entanto, esta equação não está na forma padrão. Além disso, a equação
, é uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Análise: A primeira parte está correta: a equação
é de 1ª ordem e realmente não está na forma padrão
. No entanto, a segunda parte está errada: a equação
tem coeficientes que dependem de
, portanto, não são constantes.
Resposta: F (Falsa)
Passo 4
Afirmação III: É possível transformar a equação
em uma EDO de primeira ordem, linear em
, fazendo-se a substituição
e
.
Análise: Sim! Substituindo
e
, a equação vira
, que é uma EDO de primeira ordem e linear em
.
Resposta: V (Verdadeira)
Passo 5
Afirmação IV: Sejam
,
, a solução geral da equação
e
uma solução particular desta equação, para
e
. Então, podemos afirmar que
.
Análise: A solução geral de
é
. Com
e
, temos
.
Resposta: V (Verdadeira)
Passo 6
Afirmação V: O número de constantes na solução geral de uma EDO é igual à ordem desta EDO.
Análise: Correto! Uma EDO de
-ésima ordem tem uma solução geral com
constantes de integração.
Resposta: V (Verdadeira)
Passo 7
Afirmação VI: Dizemos que uma equação diferencial na forma
é homogênea, se para todo
, vale a relação
.
Análise: Sim, essa é a definição de uma EDO homogênea de primeira ordem, onde
é uma função homogênea de grau 0.
Resposta: V (Verdadeira)
Passo 8
Afirmação VII: Podemos afirmar que as funções
e
são soluções linearmente independentes da equação diferencial
, e por este motivo
é a solução geral desta equação.
Análise: Verificando, ambas as funções satisfazem a EDO e o Wronskiano delas não é zero, indicando independência linear. Portanto, a combinação linear delas é a solução geral.
Resposta: V (Verdadeira)
Passo 9
Afirmação VIII: A solução do problema de valor inicial
é
.
Análise: Integrando a equação diferencial exata, obtemos
. Aplicando a condição inicial
, encontramos
. Logo, a solução é
.
Resposta: V (Verdadeira)
Passo 10
Afirmação IX: As equações
e
não são separáveis. No entanto, é possível, através de substituições convenientes, transformar a primeira equação em uma equação separável.
Análise: Embora ambas não sejam separáveis diretamente, a primeira equação pode ser transformada por uma substituição adequada para torná-la separável.
Resposta: V (Verdadeira)
Passo 11
Afirmação X: Podemos afirmar que um problema de valor inicial
sempre tem solução única.
Análise: Nem sempre. A existência e unicidade da solução dependem de condições específicas, como a continuidade e a condição de Lipschitz para
. Sem essas condições, pode não haver solução única.
Resposta: F (Falsa)
Passo 12
Afirmação XI: Dada uma equação diferencial linear de 2ª ordem (em
), então podemos afirmar que esta equação não pode conter funções não lineares da variável independente
.
Análise: Não é verdade. EDOs lineares podem ter coeficientes que são funções de
, mesmo que sejam não lineares. O que define uma EDO linear é a linearidade em relação à função
e suas derivadas, não necessariamente nas funções que dependem de
.
Resposta: F (Falsa)
Resposta
I - F
II - F
III - V
IV - V
V - V
VI - V
VII - V
VIII - V
IX - V
X - F
XI - F
II - F
III - V
IV - V
V - V
VI - V
VII - V
VIII - V
IX - V
X - F
XI - F