Questão 1. Em cada alternativa abaixo, marque V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa.
I-( ) A EDO x^6 y^4+(y^prime prime)^5-53 x^2 y=0 tem ordem 4.
II-( ) A EDO linear x y^prime+15 y=4 x^2 tem ordem 1 , no entanto, esta equação não está na forma padrão. Além disso, a equação -7 x^2 y^prime prime+x2 y^prime-y2=0, x>0, é uma EDO linear homogênea de 2 a ordem com coeficientes constantes.
III-( ) É possível transformar a equação x y^prime prime+y^prime+x=0 em uma EDO de primeira ordem, linear em u, fazendo-se a substituição y^prime=u e y^prime prime=d ud x.
IV-( ) Sejam y=C1 y1+C2 y2, C1, C2 in R, a solução geral da equação y^prime prime=0 e yp uma solução particular desta equação, para C1=6 e C2=-8. Então, podemos afirmar que yp(2)=4.
V-( ) O número de constantes na solução geral de uma EDO é igual a ordem desta EDO.
VI-( ) Dizemos que uma equação diferencial na forma y^prime=f(x, y) é homogênea, se para todo lambda in R, vale a relação f(lambda x, lambda y)=f(x, y).
VII-( ) Podemos afirmar que as funções y1(x)=x e y2(x)=-12 x são soluções linearmente independentes da equação diferencial x y^prime prime+y^prime-yx=0, x>0, e por este motivo yh=c1 y1+c2 y2 é a solução geral desta equação.
VIII-( ) A solução do problema de valor inicial e^y d x+(x e^y-2 y) d y=0, y(1)=0, é x e^y-y^2=1.
IX-( ) As equações y^prime-2 x-3 y-13 x+y-2=0 e y^prime-y^2 x e^3 x+4 y=0 não são separáveis. No entanto, é possível, através de substituições convenientes transformar a primeira equação em uma equação separável.
X-( ) Podemos afirmar que um problema de valor inicial y^prime=f(x, y), y(x0)=y0 sempre tem solução única.
XI-( ) Dada uma equação diferencial linear de 2a ordem (em y), então podemos afirmar que esta equação não pode conter funções não lineares da variável independente x.

Passo 1

Beleza, temos uma questão com 11 afirmações sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O objetivo é identificar se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). Para resolver, vamos precisar entender conceitos como ordem da EDO, linearidade, soluções gerais, independência linear, equações homogêneas e métodos de resolução como substituições e separação de variáveis.

Passo 2

Afirmação I: A EDO x^6 y^4+(y'')^5-53 x^2 y=0 tem ordem 4.
Análise: A ordem de uma EDO é determinada pelo maior derivado presente na equação. Aqui, y'' é a segunda derivada, mesmo que esteja elevada à quinta potência. Portanto, a ordem é 2, não 4.
Resposta: F (Falsa)

Passo 3

Afirmação II: A EDO linear x y' + 15 y = 4x^2 tem ordem 1, no entanto, esta equação não está na forma padrão. Além disso, a equação -7x^2 y'' + x2 y' - y2 = 0, x>0, é uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Análise: A primeira parte está correta: a equação x y' + 15 y = 4x^2 é de 1ª ordem e realmente não está na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). No entanto, a segunda parte está errada: a equação -7x^2 y'' + x2 y' - y2 = 0 tem coeficientes que dependem de x, portanto, não são constantes.
Resposta: F (Falsa)

Passo 4

Afirmação III: É possível transformar a equação x y'' + y' + x = 0 em uma EDO de primeira ordem, linear em u, fazendo-se a substituição y' = u e y'' = dudx.
Análise: Sim! Substituindo y' = u e y'' = dudx, a equação vira x dudx + u + x = 0, que é uma EDO de primeira ordem e linear em u.
Resposta: V (Verdadeira)

Passo 5

Afirmação IV: Sejam y = C1 y1 + C2 y2, C1, C2 in R, a solução geral da equação y'' = 0 e yp uma solução particular desta equação, para C1 = 6 e C2 = -8. Então, podemos afirmar que yp(2) = 4.
Análise: A solução geral de y'' = 0 é y = C1x + C2. Com C1 = 6 e C2 = -8, temos y(2) = 6*2 - 8 = 4.
Resposta: V (Verdadeira)

Passo 6

Afirmação V: O número de constantes na solução geral de uma EDO é igual à ordem desta EDO.
Análise: Correto! Uma EDO de n-ésima ordem tem uma solução geral com n constantes de integração.
Resposta: V (Verdadeira)

Passo 7

Afirmação VI: Dizemos que uma equação diferencial na forma y' = f(x, y) é homogênea, se para todo lambda in R, vale a relação f(lambda x, lambda y) = f(x, y).
Análise: Sim, essa é a definição de uma EDO homogênea de primeira ordem, onde f(x, y) é uma função homogênea de grau 0.
Resposta: V (Verdadeira)

Passo 8

Afirmação VII: Podemos afirmar que as funções y1(x) = x e y2(x) = -12x são soluções linearmente independentes da equação diferencial x y'' + y' - yx = 0, x>0, e por este motivo yh = c1 y1 + c2 y2 é a solução geral desta equação.
Análise: Verificando, ambas as funções satisfazem a EDO e o Wronskiano delas não é zero, indicando independência linear. Portanto, a combinação linear delas é a solução geral.
Resposta: V (Verdadeira)

Passo 9

Afirmação VIII: A solução do problema de valor inicial e^y dx + (x e^y - 2y) dy = 0, y(1) = 0 é x e^y - y^2 = 1.
Análise: Integrando a equação diferencial exata, obtemos x e^y - y^2 = C. Aplicando a condição inicial y(1) = 0, encontramos C =1. Logo, a solução é x e^y - y^2 =1.
Resposta: V (Verdadeira)

Passo 10

Afirmação IX: As equações y' - 2x - 3y -13x + y -2 = 0 e y' - y^2 x e^3x +4 y = 0 não são separáveis. No entanto, é possível, através de substituições convenientes, transformar a primeira equação em uma equação separável.
Análise: Embora ambas não sejam separáveis diretamente, a primeira equação pode ser transformada por uma substituição adequada para torná-la separável.
Resposta: V (Verdadeira)

Passo 11

Afirmação X: Podemos afirmar que um problema de valor inicial y' = f(x, y), y(x0) = y0 sempre tem solução única.
Análise: Nem sempre. A existência e unicidade da solução dependem de condições específicas, como a continuidade e a condição de Lipschitz para f(x, y). Sem essas condições, pode não haver solução única.
Resposta: F (Falsa)

Passo 12

Afirmação XI: Dada uma equação diferencial linear de 2ª ordem (em y), então podemos afirmar que esta equação não pode conter funções não lineares da variável independente x.
Análise: Não é verdade. EDOs lineares podem ter coeficientes que são funções de x, mesmo que sejam não lineares. O que define uma EDO linear é a linearidade em relação à função y e suas derivadas, não necessariamente nas funções que dependem de x.
Resposta: F (Falsa)

Resposta

I - F
II - F
III - V
IV - V
V - V
VI - V
VII - V
VIII - V
IX - V
X - F
XI - F

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