Considere os n números reais a1, a2, ldots, an. Prove que
|ccccc 1 & a1 & a1^2 & cdots & a1^n-1 1 & a2 & a2^2 & cdots & a2^n-1 1 & a3 & a3^2 & cdots & a3^n-1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & an & an^2 & cdots & an^n-1 |=prod1 <= i<j <= n(aj-ai)
em que prod1 <= i<j <= n(aj-ai) significa o produto de todos os termos da forma (aj-ai), em que i<j e ambos i e j estão entre 1 e n.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz de Vandermonde de ordem n, cujas linhas são
(1,;ai,;ai^2,;dots,;ai^n-1), i=1,2,dots,n,
e mostrar que
det Vn(a1,dots,an) =prod1<= i<j<= n(aj-ai)
O conteúdo envolvido é propriedades de determinantes (operações em colunas) e indução.

Passo 2

Verificamos a base da indução:
Para n=1 a matriz é (1) e det=1, enquanto o produto vazio prod1<= i<j<=1(aj-ai) também vale 1.
Para n=2 a matriz é
1 & a1 1 & a2 ,
logo
det =;a2-a1 =prod1<= i<j<=2(aj-ai)
Então a afirmação vale para n=1 e n=2.

Passo 3

Suponha agora que o resultado seja verdade para n-1. Considere a matriz Vn. Aplicamos em cada coluna j (de j=n até j=2) a operação elementar
Cj;;Cj;-;a1,Cj-1
Isso não altera o valor do determinante.

Passo 4

Após essas operações, a primeira linha fica
(1,;a1-a1,;a1^2 - a1a1,;dots,;a1^n-1-a1,a1^n-2) =(1,0,0,dots,0)
Em cada linha i>1, a entrada na coluna j>=2 torna-se
ai^,j-1-a1,ai^,j-2 =ai^,j-2,(ai-a1)
Portanto, para i=2,dots,n podemos fatorar (ai-a1) de toda a linha i, acumulando o fator
prodi=2^n(ai-a1) no determinante.

Passo 5

Depois de extrair esses fatores, a matriz fica com primeira linha (1,0,dots,0) e, nas linhas de 2 a n, as colunas de 1 a n formam exatamente o Vandermonde de ordem n-1 sobre (a2,dots,an). Assim
det Vn =l(prodi=2^n(ai-a1)r);det Vn-1(a2,dots,an)
Pelo passo indutivo
det Vn-1(a2,dots,an) =prod2<= i<j<= n(aj-ai)

Passo 6

Juntando tudo, obtemos
det Vn =l(prodi=2^n(ai-a1)r) l(prod2<= i<j<= n(aj-ai)r) =prod1<= i<j<= n(aj-ai)

Resposta

det 1 & a1 & a1^2 & cdots & a1^n-1 1 & a2 & a2^2 & cdots & a2^n-1 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 1 & an & an^2 & cdots & an^n-1 =prod1<= i<j<= n(aj-ai)

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