Use o método do problema 15 para determiner polinômios de graus maiores ou iguais a 2 que passem pelos conjuntos de pontos a seguir.
(b) A(-1,-3), B(1,-1), C(3,1)

Passo 1

O enunciado pede todos os polinômios p de grau maior ou igual a 2 que satisfazem
p(-1)=-3, p(1)=-1, p(3)=1
O método geral (problema 15) é:
1. Encontrar um polinômio particular p0(x) de grau mínimo que passe pelos pontos (por exemplo via interpolação quadrática).
2. Acrescentar a ele o geral da solução homogênea, i.e.\ todo polinômio que zere nos mesmos pontos, que é múltiplo de (x+1)(x-1)(x-3).

Passo 2

Supondo um polinômio quadrático
p(x)=ax^2+bx+c,
impondo as três condições, obtemos o sistema
a - b + c = -3, a + b + c = -1, 9a + 3b + c = 1
Subtraindo as duas primeiras equações vem
-2b = -2Longrightarrow b=1
Então da segunda equação
a + 1 + c = -1Longrightarrow a + c = -2
E da terceira
9a + 3cdot1 + c = 1Longrightarrow 9a + c = -2
Subtraindo estas duas últimas dá 8a=0, logo a=0 e c=-2. Portanto o polinômio interpolador de grau mínimo é
p0(x)=x-2,
que na verdade é de grau 1.

Passo 3

Como p0(x) é linear, não existe polinômio de grau exatamente 2 que passe pelos três pontos (eles são colineares). Para gerar todos os polinômios que passam por esses pontos, considere um polinômio qualquer
;Q(x)inR[x]; e note que
r(x):=p(x)-p0(x)
deve satisfazer r(-1)=r(1)=r(3)=0. Logo
r(x) é divisível por (x+1)(x-1)(x-3) éí
Assim o polinômio geral é
p(x)=p0(x)+(x+1)(x-1)(x-3),Q(x)

Passo 4

Para obter polinômios de grau maior ou igual a 2 basta escolher Q(x) tal que deg Q(x)>=0.
  • Se Q(x)=0 fica deg p=1.
  • Se Q(x) for constante não nulo, deg p=3.
  • Se deg Q(x)=m, então deg p=3+m, cobrindo todos os graus >=3.

Resposta

Todos os polinômios de grau >=2 que passam por A(-1,-3), B(1,-1), C(3,1) são
boxedp(x)=x-2;+;(x+1)(x-1)(x-3),Q(x),
onde Q(x) é um polinômio arbitrário. Não há solução de grau exatamente 2.

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